12、信号采样与Z变换的全面解析

信号采样与Z变换的全面解析

1. 信号采样相关内容

1.1 采样基础概念

在信号处理中，采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的重要过程。若有 $y_1(kL)= w_1(kML) = x(kM)$，则可推出 $y_1(kL) = y_2(kL)$。不过，要使 $y_1(n)$ 等于 $y_2(n)$，需满足当 $n \neq kL$ 时，$y_1(n) = w_1(nM) = 0$，而这一条件成立的充要条件是 $M$ 和 $L$ 互质。

1.2 采样相关问题及解答

以下是一些常见的采样问题及对应的解答：
|问题描述|答案|
| ---- | ---- |
|找出两个不同的连续时间信号，在采样频率为 8 kHz 时产生相同序列|$x_1(t)= \cos(12\pi nt)$ 和 $x_2(t)= \cos(172\pi nt)$|
|若 $x_a(t)$ 的奈奎斯特率为 $R_x$，求 $x_2(2t)$、$x(t/3)$、$x(t) * x(t)$ 的奈奎斯特率|(a) $4R_x$；(b) $R_x/3$；(c) $R_x$|
|已知连续时间信号 $x_a(t)$ 在 $T_s = 1$ ms 时可从其样本 $x_a(nT_s)$ 唯一恢复，求 $X_a(f)$ 中的最高频率|500 Hz|
|假设 $x_a(t)$ 带宽限制为 8 kHz，求 $x_a(t)$ 和 $x_a(t)\cos(2\pi \cdot 1000t)$ 的奈奎斯特率|(a) 16 kHz；(b) 18 kHz|
|若连续时间滤波器的冲激响应为 $h_a(t)$，采样频率为 $f_s$，当 $f_s$ 增