Dijkstra算法图文详解和C++代码

1 Dijkstra算法基本原理

Dijkstra算法是根据贪心算法实现的，首先找出当前点到所有能到达的点之间最短的距离，然后松弛一次继续循环。所谓松弛一次，就是在已经访问过的点中遍历一遍，看看有没有更近的，如果有更近的就更新距离。这样每次找最近的可达点+松弛遍历历史节点的操作，一直重复就能找到最短路径。

算法介绍

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

基本步骤

通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。

然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；

接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；

接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。

…

重复该操作，直到遍历完所有顶点。

2 算法过程图解1（有向图）

首先看一个图，目标是找到从1到6的最短距离

首先用一个6*6的二维数组存储距离信息，纵坐标为起点，横坐标为终点，对应的坐标值就是起点到终点的距离，其中，不可达点的距离为$\infty$，到自身的距离为0。

接着用一个一维数组来存储路径

从点1开始，遍历二维数组的第一行，发现距离1是最小的，对应点1到点2，选定点2；松弛，没有更近值；

从点2开始，遍历二维数组的第二行，发现距离3是最小的，对应点2到点4，选定点4；松弛，没有更近值；

从点4开始，遍历二维数组的第四行，发现距离4是最小的，对应点4到点3，选定点3；松弛，没有更近值；

从点3开始，遍历二维数组的第三行，发现距离5是最小的，对应点3到点5，选定点5；松弛，没有更近值；

从点5开始，遍历二维数组的第五行，发现距离4是最小的，对应点5到点6，选定点6；松弛，没有更近值；

点6，已经到达目标节点，遍历结束。

3 算法过程图解2（无向图）

注意：B（23）应该为B（13）

初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！
第1步：将顶点D加入到S中。
此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

第2步：将顶点C加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。
此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(13),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：将顶点E加入到S中。
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。
此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(13),F(6),G(12)}。

第4步：将顶点F加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：将顶点G加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：将顶点B加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：将顶点A加入到S中。
此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

4 C++代码

4.1 案例1代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define Inf 0x3f3f3f3f
 
using namespace std;
 
int map[1005][1005];
 
int vis[1005],dis[1005];
int n,m;//n个点