38、轮廓几何与视觉事件解析

轮廓几何与视觉事件解析

1. 轮廓几何基础

在研究表面轮廓的几何性质之前，我们先探讨空间曲线 $\Gamma$ 及其在平面 $\Pi$ 上的正交投影 $\gamma$ 之间的关系。设 $\alpha$ 为平面 $\Pi$ 与曲线 $\Gamma$ 切线 $t$ 的夹角，$\beta$ 为平面 $\Pi$ 与曲线 $\Gamma$ 密切平面的夹角，这两个角完全确定了曲线相对于图像平面的局部方向。

曲线 $\Gamma$ 上某点的曲率为 $\kappa$，其表观曲率（即投影 $\gamma$ 在对应图像点的曲率）为 $\kappa_a$，通过分析可得：
$\kappa_a = \frac{\kappa \cos \beta}{\cos^3 \alpha}$

当观察方向在密切平面内（$\cos \beta = 0$）时，表观曲率 $\kappa_a$ 消失，曲线的图像会出现拐点；当观察方向与曲线相切（$\cos \alpha = \cos \beta = 0$）时，$\kappa_a$ 不再有明确定义，投影会出现尖点。

2. 遮挡轮廓与图像轮廓

由光滑表面围成的固体的图像被一条图像曲线所包围，这条曲线称为该固体的轮廓、剪影或外形。它是视网膜与一个视锥的交线，视锥的顶点与针孔重合，其表面沿着另一条曲线（遮挡轮廓或边缘）掠过物体。

在正交投影的情况下，针孔移至无穷远，视锥变成一个圆柱体，其母线平行于固定的观察方向。遮挡轮廓上一点的切平面投影到图像轮廓的切线上，图像轮廓的法线等于遮挡轮廓对应点的表面法线。需要注意的是，观察方向 $v$ 通常不垂直于遮挡轮廓的切线 $t$，这两个方向是共轭的，这是遮挡轮廓的一个极其重要的