8、无限维的Metaplectic表示与正则对易关系

无限维的Metaplectic表示与正则对易关系

1. 湮灭算符的定义与性质

1.1 分析向量与湮灭算符的定义

通过比值判别法可知，对于所有的 (t \in R^+)，(\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{|(a^ (f))^kF|}{k!}) 是有限的。由于 (\mathcal{D}) 是 (a^ (f)) 的 (C^{\infty}) 向量的不变集，所以 (\mathcal{D}) 是 (a^*(f)) 的解析向量集。

我们定义湮灭算符 (a(f))，(f \in \mathcal{H})，为 (a^ (f)) 的伴随算符，即 (a(f) = a^ (f)^ )。因为 (a^ (f)) 是无界的，所以 (a(f)) 也是无界的，需要指定其定义域。可以证明，对于所有的 (f \in \mathcal{H})，可以选择 (\mathcal{D}) 作为 (a(f)) 的定义域。在这个定义域上，对于乘积向量，有：
- (a(f)\Omega = 0)
- (a(f)(f_1 \vee \cdots \vee f_n) = \sum_{i = 1}^{n} (f, f_i) \cdot f_1 \vee \cdots \vee f_{i - 1} \vee f_{i + 1} \vee \cdots \vee f_n)

1.2 湮灭算符的有界性与解析向量性质

(a(f)) 作为从 (V^{n + 1}\mathcal{H}) 到 (V^n\mathcal{H}) 的算符是有界的，因为 (a^ (f)) 是从 (V^n\ma