51、有序二叉决策图（OBDD）最小化的采样方法

有序二叉决策图（OBDD）最小化的采样方法

在计算机辅助设计、验证和测试数字系统中，有序二叉决策图（OBDD）作为布尔函数的表示方案，因其出色的算法特性而备受青睐。然而，OBDD的最小化问题，尤其是找到实现最小规模的最优变量顺序，仍然是一个具有挑战性的难题。本文将介绍一种基于采样的变量重排序启发式方法，旨在在短时间内找到可接受的变量顺序，同时减少内存开销。

1. 引言

OBDD在有限域上的所有问题中都有广泛应用，但其实践应用中，OBDD表示的简洁性是首要问题。由于不同变量顺序下OBDD的大小可能呈指数级变化，找到最优变量顺序以实现最小规模的问题尤为重要。然而，这个问题是NP完全问题，精确算法仅适用于少量变量，因此变量重排序启发式方法更具实用性。

常见的变量重排序启发式方法，如模拟退火和遗传重排序算法，由于需要构造OBDD来评估变量顺序，往往耗时过长。为了解决这个问题，一些方法尝试将问题简化为低维问题，例如Sifting算法通过寻找单个变量的最佳位置来逐步改进OBDD的大小。

本文结合采样思想，从考虑的OBDD中选取一部分作为代表性样本，解决样本的变量顺序问题，并将其应用于整个OBDD。目标是在短时间内获得可接受的变量顺序，而不是最优顺序。

2. 预备知识

2.1 定义

• 有序二叉决策图（OBDD） ：OBDD P是一个多根有向无环图，具有以下属性：
  1. 汇点标记为布尔常量0和1。
  2. 每个内部节点标记为一个布尔变量，并具有两个可区分的后继节点，分别称为低子节点和高子节点。
  3. 在任何路径上，任何变量最多出现一次，变量的出现顺序定义了一个顺序π。
• π - OBDD ：具有变量顺序π的OBDD。
• OBDD的大小 ：通过非汇点节点的数量来衡量，记为|P|。

2.2 OBDD属性

• 唯一最小表示 ：对于任何布尔函数，在给定变量顺序π下，存在唯一且最小的π - OBDD表示。
• 线性时间缩减 ：任何OBDD都可以在线性时间内进行缩减。
• 多项式时间算法 ：存在多项式时间算法用于执行布尔二元运算、构建余因子、评估函数、进行可满足性和重言式测试以及计算可满足赋值的数量等操作。
• 交换操作 ：交换相邻变量的顺序是一种局部操作，称为交换（swap），可以在时间和空间O(|Li| + |Li + 1|)内完成。
• 高效重构 ：可以根据新的变量顺序高效地重构OBDD。

3. 变量重排序中的采样方法

采样重排序方法的主要思想是为给定OBDD的小样本找到一个好的变量顺序，并将其应用于整个多根OBDD。需要解决以下三个基本问题：
- 如何找到样本 ：
- 随机选择 ：最初，我们随机选择样本，这种方法使该方法独立于应用程序，但未充分利用特定应用信息。
- 样本大小 ：样本大小的选择很关键，小样本可以快速重排序，但提供的信息较少；大样本提供更多信息，但开销较大。实验表明，15% - 30%的样本大小可以节省时间，并且经常能得到较小的最终OBDD大小。
- 变量覆盖 ：样本应尽可能覆盖大部分变量，还可以为变量分配权重，如相应节点级别的大小，以影响样本的选择。
- 如何最小化样本 ：考虑到CUDD包的实现细节，我们选择复制样本并使用Sifting算法进行重排序。
- 如何将最小化样本的变量顺序应用于整个OBDD ：
- 新变量顺序的推导 ：固定样本中未出现的变量的位置，根据重排序样本中变量的位置对其余变量进行重排序。
- OBDD的重建 ：使用洗牌过程将变量向上移动到新位置，从新顺序中最高级别的变量开始。如果OBDD大小超过给定因子，则停止重建过程。

以下是采样重排序方法的流程图：

graph TD;
    A[选择样本] --> B[复制样本];
    B --> C[使用Sifting重排序样本];
    C --> D[推导新变量顺序];
    D --> E[重建OBDD];
    E --> F{是否达到可接受的改进};
    F -- 是 --> G[结束];
    F -- 否 --> A[选择新样本];

4. 实验

我们将采样重排序方法实现于科罗拉多大学决策图包（CUDD - 2.1.2）中，并用于LGSynth91基准电路和CUDD包中一些电路的符号仿真的动态重排序。实验在奔腾Pro 200处理器和64MB内存的计算机上进行，将结果与Sifting算法进行比较。

4.1 实验参数选择

• 样本大小 ：实验表明，10%的样本提供的信息不足，60%的样本开销过大，15% - 30%的样本大小可以节省时间。
• 增长因子 ：在洗牌到新变量顺序时，10% - 20%的大小增长是可接受的。
• 重排序尝试次数 ：每次动态调用重排序允许2 - 3次尝试。

4.2 组合验证的采样重排序策略

在组合验证的特定应用中，我们可以利用额外信息选择样本。建议优先选择一些根节点作为样本，因为随着计算的进行，新创建的根节点代表更复杂的函数，其最小化具有更高的优先级。

具体策略如下：
1. 从新创建的根节点中选择一个小样本，并复制以使用Sifting算法进行重排序。
2. 将获得的顺序应用于整个OBDD。
3. 如果第一次尝试未能达到可接受的改进，则对新样本重复相同的过程。

以下是实验结果的表格：
| 样本大小 | 时间（Sifting） | 时间（Sample Reordering） | 最终OBDD大小（Sifting） | 最终OBDD大小（Sample Reordering） |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 10% | 较长 | 较长 | 较大 | 较大 |
| 15% | 较长 | 较短 | 较大 | 较小 |
| 30% | 较长 | 较短 | 较大 | 较小 |
| 60% | 较长 | 较长 | 较大 | 较大 |

通过实验，我们可以看到采样重排序方法在时间上具有明显优势，并且经常能得到较小的最终OBDD大小。这种方法为BDD - 基于的操作提供了一种有效的加速方式，尤其适用于组合验证和顺序验证等应用。在实际应用中，可以根据具体情况调整样本大小、增长因子和重排序尝试次数等参数，以获得最佳性能。

有序二叉决策图（OBDD）最小化的采样方法

5. 采样重排序方法的优势与挑战

5.1 优势

• 时间效率 ：从实验结果来看，采样重排序方法在样本大小为 15% - 30%时，相比 Sifting 算法能显著节省时间。这是因为它通过处理小样本，减少了不必要的计算量，避免了对整个 OBDD 进行大规模的重排序操作。例如，在处理复杂的电路符号仿真时，Sifting 算法可能需要较长时间来遍历和调整所有变量的顺序，而采样重排序方法可以快速从样本中找到一个较好的变量顺序，并应用到整个 OBDD 上，大大缩短了重排序的时间。
• 可接受的 OBDD 大小 ：虽然该方法的目标不是找到最优的变量顺序，但在很多情况下，它能得到比 Sifting 算法更小的最终 OBDD 大小。这意味着在保证一定简洁性的前提下，提高了 OBDD 的表示效率，对于需要处理大量布尔函数的应用场景，如数字系统的设计和验证，具有重要的实际意义。
• 通用性与独立性 ：随机选择样本的方式使该方法独立于具体的应用，具有较好的通用性。无论面对何种类型的布尔函数和应用场景，都可以使用该方法进行变量重排序，无需根据不同的应用进行复杂的调整。

5.2 挑战

• 样本选择的不确定性 ：由于无法找到一个高效的算法来确定具有理想性质的小样本，随机选择样本可能无法充分反映整个 OBDD 的特征。这可能导致从样本中得到的变量顺序在应用到整个 OBDD 时，效果并不理想。例如，某些特殊的布尔函数可能具有局部特征，如果随机选择的样本没有涵盖这些关键特征，那么重排序后的 OBDD 大小可能无法得到有效改善。
• 参数调整的复杂性 ：样本大小、增长因子和重排序尝试次数等参数的选择需要根据具体的应用和实例进行实验和调整。不同的电路结构和布尔函数可能对这些参数有不同的要求，没有一种通用的参数设置适用于所有情况。这增加了方法的使用难度，需要用户具备一定的经验和专业知识。

6. 进一步的优化思路

为了克服上述挑战，提高采样重排序方法的性能，可以考虑以下优化思路：
- 结合应用信息选择样本 ：在实际应用中，可以利用更多的应用特定信息来选择样本。例如，在数字电路的设计中，可以根据电路的拓扑结构、信号传播路径等信息，优先选择与关键部分相关的根节点作为样本。这样可以更有针对性地找到对整个 OBDD 影响较大的变量顺序，提高重排序的效果。
- 自适应参数调整 ：开发一种自适应的参数调整机制，根据 OBDD 的实时特征和重排序的效果，动态调整样本大小、增长因子和重排序尝试次数等参数。例如，在重排序过程中，如果发现样本提供的信息不足，可以适当增加样本大小；如果重排序的效果不理想，可以增加重排序尝试次数。
- 多策略融合 ：将采样重排序方法与其他重排序算法进行融合，充分发挥各种算法的优势。例如，可以先使用采样重排序方法快速找到一个大致的变量顺序，然后再使用其他精确的算法对局部进行微调，以获得更好的结果。

以下是优化思路的列表：
1. 结合应用信息选择样本
2. 自适应参数调整
3. 多策略融合

7. 未来应用展望

采样重排序方法为 OBDD 的最小化问题提供了一种新的解决方案，具有广阔的应用前景。除了已经提到的组合验证和顺序验证，还可以应用于以下领域：
- 人工智能 ：在机器学习和深度学习中，布尔函数的处理和优化是一个重要的环节。OBDD 可以用于表示和处理布尔逻辑，采样重排序方法可以提高布尔函数的表示效率，从而加速模型的训练和推理过程。
- 密码学 ：密码学中的很多算法涉及到布尔函数的运算和验证。使用采样重排序方法可以优化布尔函数的表示，提高密码算法的安全性和效率。
- 量子计算 ：量子计算中的量子电路设计和验证也需要处理布尔逻辑。采样重排序方法可以帮助优化量子电路的布尔表示，提高量子计算的性能。

以下是未来应用领域的表格：
| 应用领域 | 应用方式 |
| ---- | ---- |
| 人工智能 | 提高布尔函数表示效率，加速模型训练和推理 |
| 密码学 | 优化布尔函数表示，提高密码算法安全性和效率 |
| 量子计算 | 优化量子电路布尔表示，提高量子计算性能 |

8. 总结

本文介绍了一种基于采样的变量重排序启发式方法，用于解决 OBDD 最小化问题。该方法通过选择小样本、最小化样本并将其变量顺序应用于整个 OBDD，在时间效率和 OBDD 大小方面取得了较好的效果。实验结果表明，在样本大小为 15% - 30%时，该方法相比 Sifting 算法具有明显的时间优势，并且经常能得到较小的最终 OBDD 大小。同时，我们也讨论了该方法面临的挑战和进一步的优化思路，以及未来的应用展望。在实际应用中，可以根据具体情况灵活调整参数，结合其他算法进行优化，以充分发挥采样重排序方法的优势。

graph LR;
    A[采样重排序方法] --> B[优势];
    A --> C[挑战];
    C --> D[优化思路];
    B --> E[未来应用];
    D --> E[未来应用];

通过以上的分析和讨论，我们可以看到采样重排序方法为 OBDD 的最小化问题提供了一种有效的解决方案，具有重要的理论和实际意义。