43、小宽度有序二叉决策图可计算性测试的下界及递归函数学习中的非构造性研究

小宽度有序二叉决策图可计算性测试的下界及递归函数学习中的非构造性研究

在计算机科学领域，有序二叉决策图（OBDD）的可计算性测试以及递归函数学习中的非构造性问题是重要的研究方向。下面将详细探讨小宽度OBDD可计算性测试的下界以及递归函数学习中所需非构造性的上下界。

小宽度OBDD可计算性测试的下界

• 固定顺序宽度 - 2和宽度 - 3 OBDD的测试下界
  • 证明思路是通过从增强索引问题进行归约。设(n′ = ⌊(n - 3)/4⌋)，由于增强索引的单向通信复杂度是(\Omega(n′))，且(n′)与(n)呈线性关系，所以能得出(\Omega(n))的测试下界。
  • 具体操作如下：
    • 爱丽丝使用输入(a \in {0, 1}^{n′})形成函数(f(x) := \sum_{k = 1}^{n′} x_{4k + 3}a_k)。
    • 鲍勃使用输入(i \in [n′])（加上对(a_1 \cdots a_{i - 1})的了解）形成函数(g(x) := (\sum_{k = 1}^{i - 1} x_{4k + 3}a_k) + (x_{4i + 1} \land x_{4i + 2}))。
    • 联合函数(h(x) = f(x) + g(x))。若(a_i = 1)，(h(x))是宽度 - 2 OBDD；若(a_i = 0)，根据引理3，(h(x))与任何宽度 - 2或宽度 - 3 OBDD相差甚远。
  • 引理3：设(h : {0, 1}^n \to