57、无限秘密共享：原理与构造

无限秘密共享：原理与构造

在许多系统设计中，常常面临没有固定规模或使用时长上限的情况。例如整数的前缀码、无限图中节点邻接测试的标签、无界时间周期的前向安全签名以及未知大小集合的近似成员数据结构等。本文将深入探讨秘密共享方案，特别是针对不断演变的访问结构的秘密共享。

1. 模型与定义

• 基本符号 ：对于整数 $n \in N$，用 $[n]$ 表示集合 ${1, \ldots, n}$，$\log$ 表示以 2 为底的对数，且 $\log 0 = 0$。对于集合 $X$，$x \leftarrow X$ 表示从 $X$ 上的均匀分布中采样一个值 $x$。
• 访问结构 ：
  • 定义 1（访问结构） ：访问结构 $A \subseteq 2^{P_n}$ 是一个单调的子集集合。$A$ 中的子集称为合格子集，不在 $A$ 中的子集称为不合格子集。
  • 定义 2（阈值访问结构） ：对于每个 $n \in N$ 和 $1 \leq k \leq n$，$(k, n)$ - thr 是 $n$ 个参与方上的阈值访问结构，包含所有大小至少为 $k$ 的子集。
• 标准秘密共享方案 ：一个标准的秘密共享方案涉及一个拥有秘密的分发者、一组 $n$ 个参与方和一个访问结构 $A$。该方案由一对概率算法 (SHARE, RECON) 组成：
  • SHARE 输入一个秘密 $s$