58、无限分享秘密的方案

无限分享秘密的方案

1. 基于无向图的秘密分享方案

1.1 标准方案

在一种特定的访问结构中，参与方对应无向图 $G = (V, E)$ 的边。图中有两个固定顶点 $s$ 和 $t$（$s, t \in V$）。一组参与方（即边）是合格的，当且仅当它们包含一条从 $s$ 到 $t$ 的路径。

给定一个秘密 $s \in {0, 1}$，分发者为每个顶点 $v \in V$ 分配一个标签：
- 对于 $v = s$，标签 $w_s = s$；
- 对于 $v = t$，标签 $w_t = 0$；
- 对于其余顶点，标签 $w_v$ 独立且均匀地从 ${0, 1}$ 中随机选取。

边 $e = (u, v) \in E$ 对应的参与方的份额是 $w_u \oplus w_v$。

若一组参与方包含一条从 $s$ 到 $t$ 的路径 $s = v_1v_2 \cdots v_k = t$，通过对他们的份额进行异或运算，可以重构秘密：
[
(w_{v_1} \oplus w_{v_2}) \oplus (w_{v_2} \oplus w_{v_3}) \oplus \cdots \oplus (w_{v_{k - 1}} \oplus w_{v_k}) = w_{v_1} \oplus w_{v_k} = s
]

1.2 演化方案

该访问结构和方案可以自然地推广到演化场景。在这个场景中，我们考虑一个演化（可能是无限的）图，其节点和边的集合是无界的。在任何时间点，都可以向图中添加任意一组顶点和边，添加一条边对应于向方案中添加一个新的参与方。特殊顶