37、加速超椭圆曲线雅可比群中的标量乘法及抗侧信道攻击的椭圆曲线乘法改进

加速超椭圆曲线雅可比群中的标量乘法及抗侧信道攻击的椭圆曲线乘法改进

超椭圆曲线雅可比群相关基础概念

在超椭圆曲线的研究中，K - 除子的线性等价是一个重要概念。若两个K - 除子$D_1$和$D_2$在雅可比群$J(K)$的同一类中，则称它们线性等价，记为$D_1 \sim D_2$。根据黎曼 - 罗赫定理，$J(K)$的每一类都有唯一的约化K - 除子，这使得雅可比群$J(K)$上的群运算可以通过约化除子来完成。

Mumford定理指出，对于半约化K - 除子，可以用$K[X]$中的两个多项式对来表示其唯一的约化形式。设$C$是定义在域$F$上的亏格为$g$的超椭圆曲线，方程为$y^2 + h(x)y = f(x)$，半约化K - 除子$D = \sum_{i = 1}^{r} P_i - r(\infty)$，其中$P_i = (x_i, y_i)$，$u(x) = \prod_{i = 1}^{r}(x - x_i)$，则存在唯一的多项式$v(x) \in K[X]$满足以下三个条件：
1. $\text{deg}_x v(x) < \text{deg}_x u(x)$；
2. $v(x) - y$在所有点$P_i$处取值为0；
3. $u(x)$整除多项式$v^2 + hv - f$。

若$D = \gcd((u), (v - y))$，记为$D = \text{div}(u, v)$，且$D$是约化的当且仅当$\text{deg} u(x) \leq g$。因此，雅可比群$J(K)$中的每一类都有唯一的约化除子$\text{div}(u(x), v(x))$，其中$u(x)$和$v(x)$是$K[X]$中的多项式，满足$\text{d