洛谷 P3390 矩阵快速幂

最新推荐文章于 2025-02-17 21:48:17 发布

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本文介绍了一种解决大规模矩阵乘法及快速幂运算的方法，适用于给定的大规模指数运算场景。通过对矩阵乘法的基本原理进行分析，并结合快速幂技巧，实现了高效求解n*n矩阵A的k次方的问题。

题目概述

给定n*n的矩阵A，求A^k

n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000

输出时对每个元素对10^9+7取模

解题思路

设一n*n的矩阵为A，其元素为A[i,j](1<=i,j<=n)

则A*A可用以下代码实现：

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

for k:=1 to n do

C[i,j]:=C[i,j]+A[i,k]*A[k,j];

由于k值较大，又存在重复运算，可以使用快速幂化简。

时间复杂度：O(n^3 log k)

空间复杂度：O(n^3)

源程序

const
maxn:int64=1000000007;
var
a,b,c:array[1..100,1..100]of int64;
i,n,j:longint;
k:int64;
procedure ksm(p:int64);
var
i,j,k:longint;
begin
if (p=0)or(p=1) then begin
b:=a;
exit;
end;
ksm(p div 2);
if odd(p) then begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
for k:=1 to n do
c[i,j]:=(c[i,j]+b[i,k]*b[k,j])mod maxn;
b:=c;
fillchar(c,sizeof(c),0);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
for k:=1 to n do
c[i,j]:=(c[i,j]+b[i,k]*a[k,j])mod maxn;
b:=c;
end
else begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
for k:=1 to n do
c[i,j]:=(c[i,j]+b[i,k]*b[k,j])mod maxn;
b:=c;
end;
end;
begin
readln(n,k);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
read(a[i,j]);
readln;
end;
b:=a;
ksm(k);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
write(b[i,j],' ');
writeln;
end;
end.