Max answer (线段树加单调栈)

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本文介绍了一种求解最大区间值的问题，通过预处理前缀和、使用线段树记录区间最大前缀和与最小前缀和，以及利用单调栈找到区间端点，实现了高效的求解算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/38228

给一个长度为n的序列，求出最大的区间值。区间值的定义为：区间和*区间最小值。

更简单的思路及实现：预处理前缀和，st表或者线段树记录区间最大前缀和与最小前缀和，单调栈跑出区间，以该点为中心点，若是正数，则求区间[x,R]内的最大值，[L,x]内的最小值，负数反一下就可以。

预处理前缀和，紧靠区间最左端的最小值，紧靠区间最右端的最小值。

然后枚举每个位置，将该数作为一个区间的最小值，那么该区间的左右端点可以通过单调栈找到。

然后对于该数x，假设该位置为i，区间左端点为L，右端点为R。

若x为正数，则[L,R]这一段的元素全取，因为[L,R]上的元素都是大于等于x的，故都为正数，全取。
否则，找[L,i]，[i,R]中紧靠i的最小子段和。

那么我们如何计算呢。

紧靠左端的区间最小值：lmin[]， $lmin[k]=min(lmin[k<<1],sum[k<<1]+lmin[k<<1|1]);$ 右端也是同理。

那么线段树上搜索[L,R]的时候分为两部分，这里给出[i,R]的，另一半也是同理。

对于每个能递归到的负数x的[i,R]的子区间[l,r]，他的和就是紧靠l的lmin数组加上[i~l-1]的前缀和。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;


const int maxn=5e5+7;
ll sum[maxn<<2|1];
ll lmin[maxn<<2|1];
ll rmin[maxn<<2|1];
ll suml[maxn];//前缀和;

void pushup(int k){
    sum[k]=sum[k<<1]+sum[k<<1|1];
    lmin[k]=min(lmin[k<<1],sum[k<<1]+lmin[k<<1|1]);
    rmin[k]=min(sum[k<<1|1]+rmin[k<<1],rmin[k<<1|1]);
}
int a[maxn];

void build(int l,int r,int k){
    if(l==r){
        sum[k]=lmin[k]=rmin[k]=a[l];
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,k<<1);
    build(mid+1,r,k<<1|1);
    pushup(k);
}


int x;

ll myfindL(int L,int R,int l,int r,int k){//找[x,R];
    if(l>=L&&r<=R){
        return suml[l-1]-suml[x-1]+lmin[k];

    }
    int mid=(l+r)>>1;
    ll res=inf;
    if(L<=mid){
        res=min(res,myfindL(L,R,l,mid,k<<1));
    }
    if(R>mid){
        res=min(res,myfindL(L,R,mid+1,r,k<<1|1));
    }
    return res;
}


ll myfindR(int L,int R,int l,int r,int k){//[L,x];
    if(l>=L&&r<=R){
        return suml[x]-suml[r]+rmin[k];
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    ll res=inf;
    if(L<=mid){
        res=min(res,myfindR(L,R,l,mid,k<<1));
    }
    if(R>mid){
        res=min(res,myfindR(L,R,mid+1,r,k<<1|1));
    }
    return res;
}

int l[maxn],r[maxn];
stack<int>s;


int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&a[i]);
        suml[i]=suml[i-1]+a[i];
    }

    build(1,n,1);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(s.size()&&a[s.top()]>=a[i]) s.pop();
        if(s.empty()) l[i]=0;
        else l[i]=s.top();
        s.push(i);
    }
    while(!s.empty()) s.pop();
    for(int i=n;i>=1;--i){
        while(s.size()&&a[s.top()]>=a[i]) s.pop();
        if(s.empty()) r[i]=n+1;
        else r[i]=s.top();
        s.push(i);
    }
    ll res=-inf;
    ll mutl;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        mutl=a[i];
        x=i;
        int ll=l[i]+1;
        int rr=r[i]-1;
        //cout<<"[ "<<ll<<" , "<<rr<<" ]"<<endl;
        if(a[i]>=0){
            res=max(res,(suml[rr]-suml[ll-1])*a[i]);
        }
        else{
            res=max(res,(myfindL(i,rr,1,n,1)+myfindR(ll,i,1,n,1)-a[i])*a[i]);
            //cout<<myfindL(i,rr,1,n,1)<<endl;
            //cout<<myfindR(ll,i,1,n,1)<<endl;
        }
    }
    printf("%lld\n",res);


    return 0;
}