HDU - 3949 线性基

最新推荐文章于 2021-05-05 20:46:04 发布

cy41

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分类专栏： HDU 数论文章标签：线性基

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博客探讨了如何计算线性基，并优化使其主对角线外的元素尽量为0。接着，根据线性基的秩判断元素间异或是否能得出0。如果秩不等于元素个数，说明存在异或为0的情况。当秩为x时，有2^x种异或组合，如果元素数量k大于或等于2^x，则无法通过异或得到所有可能的组合。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

首先求出线性基,并且进一步尽可能的使的p[i]除了第i位是1以外,取余全0,尽量使得除了主对角线其余元素都为0;

之后判断线性基的秩,若秩!=元素个数,说明元素之间异或会出现0的情况,那么需要将k-1，因为此时剩余的非零向量间是无法异或出0的情况的，0是最小的异或值;

假设秩为x,那么向量间相互异或的可能情况有1<<x种,若k>=(1<<x)，则说明不可异或出,否则将k二进制拆分,若这一位为1则异或对应的p[i];

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double epos=1e-8;

const int maxn=1e4+7;
//int b[maxn];
ll a[maxn];
ll p[64];
//int hhh[maxn][64];

void Linear_basis(int n){
    //for(int i=1;i<=n;++i)
    //    a[i]=b[i];
    memset(p,0,sizeof(p));
    //memset(hhh,0,sizeof(hhh));
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=63;j>=0;--j)
            if(a[i]&(1LL<<j)){
                if(p[j]) a[i]^=p[j];
                else{ p[j]=a[i];break;}
            }
//检验,列向量;
//    for(int i=63;i>=0;--i)
//        cout<<p[i]<<" ";
//    cout<<endl;
//    cout<<"    Linear_basis    "<<endl;
//
//    for(int i=63;i>=0;--i){
//        for(int j=63;j>=0;--j)
//            if(p[i]&(1LL<<j)) hhh[3-j][3-i]=1;
//    }
//    for(int i=0;i<64;++i){
//        for(int j=0;j<64;++j)
//            cout<<hhh[i][j]<<" ";
//        cout<<endl;
//    }
//    cout<<endl;

}
vector<ll>v;
int zhi,n;
void part2(int n){
    //for(int i=1;i<=n;++i)
    //    a[i]=b[i];
    memset(p,0,sizeof(p));
    //memset(hhh,0,sizeof(hhh));
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=63;j>=0;--j)
            if(a[i]&(1LL<<j)){
                if(p[j]) a[i]^=p[j];
                else{
                    p[j]=a[i];
                    //先考虑消自身,再去消别的向量;
                    /*对于自身低位的1如果能消掉就消,对于其他高位有1的向量,
		            考虑利用自身消去其他向量这一位是1的情况;*/
                    for(int k=j-1;k>=0;--k)
                        if((p[j]&(1LL<<k))&&p[k]) p[j]^=p[k];
                    for(int k=j+1;k<64;++k)
                        if(p[k]&(1LL<<j)) p[k]^=p[j];
                    break;
                }
            }
    v.clear();
    zhi=0;
    for(int i=0;i<=63;++i) if(p[i]){v.push_back(p[i]);++zhi;}


//检验,列向量;
//    for(int i=63;i>=0;--i)
//        cout<<p[i]<<" ";
//    cout<<endl;
//    cout<<"    part2    "<<endl;
//
//    for(int i=63;i>=0;--i){
//        for(int j=63;j>=0;--j)
//            if(p[i]&(1LL<<j)) hhh[3-j][3-i]=1;
//    }
//    for(int i=0;i<64;++i){
//        for(int j=0;j<64;++j)
//            cout<<hhh[i][j]<<" ";
//        cout<<endl;
//    }
//    cout<<endl;


}

ll myfind(ll k){
    if(zhi!=n) --k;
    if(k>=(1LL<<zhi)) return -1;
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<zhi;++i)
        if(k&(1LL<<i)) ans^=v[i];
    return ans;
}

int main(){
    int t;
    int m;
    ll k;
    scanf("%d",&t);
    for(int h=1;h<=t;++h){
        printf("Case #%d:\n",h);
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            scanf("%lld",&a[i]);
        part2(n);
        scanf("%d",&m);
        while(m--){
            scanf("%lld",&k);
            printf("%lld\n",myfind(k));

        }

    }


    return 0;
}