切比雪夫（最小区域法）圆柱拟合算法

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本期话题：切比雪夫（最小区域法）圆柱拟合算法

相关背景和理论
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主要介绍了应用背景和如何转化成线性规划问题

圆柱拟合输入和输出要求

输入

1. 10到631个点，全部采样自圆柱附近。
2. 每个点3个坐标，坐标精确到小数点后面20位。
3. 坐标单位是mm, 范围[-500mm, 500mm]。

输出

1. 1点X0表示 圆柱中心轴上1点，用三个坐标表示。
2. 法向A代表圆柱中心轴法向, 需要单位化。
3. 圆柱半径r。
4. 圆柱度F，所有点到圆柱距离最大的2倍。

精度要求

1. X0点圆柱中轴距离不能超过0.0001mm。
2. 法向A与标准法向夹角不能超过0.0000001rad。
3. 圆柱半径r与标准半径不能超过0.0001mm。
4. F与标准圆柱度误差不能超过0.00001mm。

圆柱优化标函数

根据论文，圆柱拟合转化成数学表示如下：

圆柱参数化表示

1. 圆柱中心轴上1点X0 = (x0, y0, z0)。
2. 法向A=(a,b,c)。
3. 半径r。

$圆柱方程\begin{array}{l}\frac{u^2+v^2+w^2}{a^2+b^2+c^2}=r^2\\ u_i=c(y-y_0)-b(z-z_0)\\ v_i=a(z-z_0)-c(x-x_0)\\ w_i=b(x-x_0)-a(y-y_0)\end{array}$

优化能量方程

第i个点 pi(xi, yi, zi)。

距离函数

$d_i=r_i-r$

$\begin{array}{l}{r}_i=\sqrt{\frac{u^2+v^2+w^2}{a^2+b^2+c^2}}\\ u_i=c(y-y_0)-b(z-z_0)\\ v_i=a(z-z_0)-c(x-x_0)\\ w_i=b(x-x_0)-a(y-y_0)\end{array}$

能量方程 $H=f(X0,A,r)=\underset{1}{\overset{n}{\max }}|d_i|$

X0, A,r是未知量，拟合过程也可以理解为优化X0, A,r使得方程H最小。

用4个数表示中轴直线

如果直接拿6个参数表示直线去做迭代，1是比较麻烦，会出现比较难解的方向，2是法向长度不固定，结果不唯一。

当直线与Z轴偏差比较小的时候可以使用4个参数来表示直线。

如上图，绿线为Z轴，橙色线为XOY平面。

由于法向与Z轴比较相近，可以设法向为(a, b, 1), a,b 是比较小的量。

规定直线上1点需要在以(a, b, 1)为法向，过0点的平面上。

则有 ax0+by0 + z0=0, 只要知道x0, y0 可知 z0 = -ax0-by0。

转化为线性规划（法向与Z轴接近）

$设a=(x_0,y_0,A_a,A_b,r),d_i=F(x_i;a),引入\Gamma ＝\stackrel{n}{\underset{i=1}{\mathrm{MAX}}}|d_i|$

根据上述定义，可以将原来的最值问题转化为下述条件

对于所有点应该满足

$F(x_i;a)\le \Gamma ,(F(x_i;a)>0)$

$-F(x_i;a)\le \Gamma ,(F(x_i;a)<0)$

我们可以通过小量迭代慢慢减小Γ

$\begin{array}{c}max\Delta \Gamma \\ s.t\end{array}$