数据结构算法设计——动态规划——最长不下降子序列LIS

一、什么是最长不下降子序列

        我们以字符子序列为例解释：

        字符子序列：指的是字符串中不一定连续但先后顺序一致的n个字符，即可以去掉字符串中的部分字符，但不可改变其前后顺序。如abcdefg中，acdg，bdf属于它的子序列，而bac，dbfg则不是，因为它们与字符串的字符顺序不一致。

        公共子序列：如果序列C既是序列A的子序列，同时也是序列B的子序列，则称它为序列A和序列B的公共子序列。如对序列 1,3,5,4,2,6,8,7和序列 1,4,8,6,7,5 来说，序列1,8,7是它们的一个公共子序列。

        最长不下降子序列：在一个数字序列中，找到一个最长的子序列(可以不连续)，使得这个子序列是不下降(非递减)的。

二、思路分析

        概念太难懂，抽象解释也不好理解，我们举个例子。在“11,15,12,13,5,2”这个序列中，求他们的最长不下降子序列。这里先给出一个表格再做解释。

	11	15	12	13	5	2
LIS[1]	1
LIS[2]		2
LIS[3]			2
LIS[4]				3
LIS[5]					1
LIS[6]						1

        这个表格每个格子中的数字我们用一个数组 dp[i] 来表示，i 从1 到 6 ，dp[i] 表示这个子序列“以第 i 个元素结尾”所能组成的最长不下降子序列的长度。比如当 i=3 的时候，dp[i] 就表示“11,15,12”这个子序列能组成的最长不下降子序列的长度为 2 ，也就是“11,12”。

        但是我们需要注意一点，通常情况下动态规划最后的输出就是dp数组的最后一个值，但是这类题我们显然不能这样输出，所以我们需要在每次循环结束之后，用一个值 ans 来存储 dp 数组的最大值，最后输出 ans 。

三、代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int maxn=1005;
int a[maxn],dp[maxn];
 
int main() {
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		cin>>a[i];
	}
 
	int ans=0;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		dp[i]=1;
		for(int j=1; j<i; j++) {
			if(a[j]<=a[i]) {
				dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
			}
		}
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
 
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

         看到这里可能有疑惑的点可能是为什么每次都要设置 dp[i]=1 ，这是因为，有可能我们访问的第 i 个数比之前所有数都小，那它自己就是“以第 i 个元素结尾所能组成的最长不下降子序列”，长度就是 1 。

        有其他疑问或有描述不清楚的地方欢迎评论区留言或私信告知，一起学习，共同进步。