1.问题描述
法国数学家梅齐亚克在它的《数学组合游戏》中提出了这样一个问题:一个商人有一个重量为40磅的砝码,有一天他不小心将该砝码摔成了4块。商人发现每块砝码的重量都是整磅数,而且每块砝码的重量各不相同,并且发现这四块砝码碎片可以在天平上称出1~40磅之间的任意重量(整磅数)。问这四块砝码碎片的重量各是多少?
2.问题分析
1、四块砝码重量加起来等于40磅
2、每块砝码的重量各不相同
3、四块砝码碎片可以在天平上称出1~40磅之间的任意重量(整磅数)
由此可知:问题的求解空间是有限的、可列的,使用穷举法是一种比较简便的方法。
算法描述:
Repeat:穷举组合{a,b,c,d},其中a,b,c,d互不相等,并且a+b+c+d=40;
if 组合{a,b,c,d}可以在天平上称出1~40磅之间的任意重量(整磅数)
Then 输出该组合方式(答案),返回
else 继续进行穷举操作
Until:穷举完毕
现在需要解决两个问题:
一、如何穷举组合{a,b,c,d},a,b,c,d互不相等,且a+b+c+d=40?
对于该问题,我们可能很快可以写出如下的程序:
for(int i = 1; i < 40; ++i)
for(int j = 1; j < 40; ++j)
for(int k = 1; k < 40; ++k)
for(int s = 1; s < 40; ++s)
{
if(i,j,k,s互不相等 && i+j+k+s=40)
得到一个组合{a,b,c,d},为该题的可能解
}
这样的算法低效且冗余。
1、会对很多i,j,k,s相等的情况进行遍历
2、这里的组合{a,b,c,d}是不考虑排列方式的组合,即组合{1,2,3,4}与组合{4,3,2,1}其实质是一样的。
故推荐使用如下优化的算法:
for(int i = 1; i <= 40; ++i)
for(int j = i+1; j <= 40-i; ++j)
for(int k = j+1; k <= 40-i-j; ++k)
for(int s = k+1; s <= 40-i-j-k; ++s)
if(i+j+k+s == 40)
得到一个组合{a,b,c,d},为该题的可能解
该算法确保内层循环搜索范围小于外层循环搜索范围,这样每次得到的组合方式的4个元素都不会相等,且不会出现“相同组合、不同排列”的情况。
二、如何判断组合{a,b,c,d}可以在天平上称出1~40磅之间的任意重量(整磅数)?
如果将其形式化为数学符号,它其实就是要判断方程:
x
1
a
i
+
x
2
b
i
+
x
3
c
i
+
x
4
d
i
=
W
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
∈
{
−
1
,
0
,
1
}
x_1a_i+x_2b_i+x_3c_i+x_4d_i=W \ \ \ \ \ x_1,x_2,x_3,x_4\in \{-1,0,1\}
x1ai+x2bi+x3ci+x4di=W x1,x2,x3,x4∈{−1,0,1}
在W=1,2,3…40时是否都有解。解空间限定在{-1,0,1}上。
例如:
假设有这样一个解{x1,x2,x3,x4}={1,0,-1,1}使得方程
x
1
a
i
+
x
2
b
i
+
x
3
c
i
+
x
4
d
i
=
1
x_1a_i+x_2b_i+x_3c_i+x_4d_i=1
x1ai+x2bi+x3ci+x4di=1
有解,即
1
×
a
i
+
0
×
b
i
−
1
×
c
i
+
1
×
d
i
=
1
⇒
a
i
+
d
i
=
c
i
+
1
1×a_i+0×b_i-1×c_i+1×d_i=1\\ \Rightarrow a_i+d_i=c_i+1
1×ai+0×bi−1×ci+1×di=1⇒ai+di=ci+1
这样天平的一边放上碎片ai和di,另一边放上碎片ci和一个1磅的砝码,天平就平衡了,这说明碎片{ai,bi,ci,di}可以称出1磅的重量。
算法描述如下:
int justify(int i, int j, int k, int s)
{
int weight;
for(weight = 1; weight <= 40; weight++)
{
//判断组合{i,j,k,s}是否可以称出1~40磅之间的任意重量
if(!getWeight(i,j,k,s,weight))
return 0;//不可以称出1~40磅之间的任意重量
}
return 1;//可以称出1~40磅之间的任意重量
}
getWeight算法描述如下:
int getWeight(int i, int j, int k, int s, int weight)
{
int x1,x2,x3,x4;
for(x1 = -1; x1 <= 1; ++x1)
for(x2 = -1; x2 <= 1; ++x2)
for(x3 = -1; x3 <= 1; ++x3)
for(x4 = -1; x4 <= 1; ++x4)
if(x1*i+x2*j+x3*k+x4*s == weight)
return 1;//存在一组解
return 0;
}
3.代码
#include "stdlib.h"
#include <iostream>
using namespace std;
int getWeight(int i, int j, int k, int s, int weight)
{
int x1,x2,x3,x4;
for(x1 = -1; x1 <= 1; ++x1)
for(x2 = -1; x2 <= 1; ++x2)
for(x3 = -1; x3 <= 1; ++x3)
for(x4 = -1; x4 <= 1; ++x4)
if(x1*i+x2*j+x3*k+x4*s == weight)
return 1;//存在一组解
return 0;
}
int justify(int i, int j, int k, int s)
{
int weight;
for(weight = 1; weight <= 40; weight++)
if(!getWeight(i,j,k,s,weight))//判断组合{i,j,k,s}是否可以称出1~40磅之间的任意重量
return 0;//不可以称出1~40磅之间的任意重量
return 1;//可以称出1~40磅之间的任意重量
}
void pieces()
{
for(int i = 1; i <= 40; ++i)
for(int j = i+1; j <= 40-i; ++j)
for(int k = j+1; k <= 40-i-j; ++k)
for(int s = k+1; s <= 40-i-j-k; ++s)
if(i+j+k+s==40)
if(justify(i,j,k,s))//得到一个组合{a,b,c,d},为该题的可能解
cout << i << " " << j << " " << k << " " << s << endl;
}
int main(int argc, char* argv[])
{
pieces();
system("pause");
return 0;
}
//结果为:1 3 9 27
4.总结
本题的关键在于
1、如何穷举组合{a,b,c,d},使得a,b,c,d互不相等,且a+b+c+d=40;
2、如何判断组合{a,b,c,d}可以在天平上称出1~40磅之间的任意重量(整磅数)。
解决了这两个问题,就能得出问题的解。