破碎的砝码问题

最新推荐文章于 2021-05-23 21:39:07 发布

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分类专栏：刷题小站文章标签：算法数据结构 c++

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本文探讨了一道经典的数学问题——如何通过四个不同重量的砝码碎片实现1到40磅间任意整数重量的称量。文章详细介绍了利用穷举法寻找符合条件的砝码组合，并验证这些组合的有效性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.问题描述

法国数学家梅齐亚克在它的《数学组合游戏》中提出了这样一个问题：一个商人有一个重量为40磅的砝码，有一天他不小心将该砝码摔成了4块。商人发现每块砝码的重量都是整磅数，而且每块砝码的重量各不相同，并且发现这四块砝码碎片可以在天平上称出1~40磅之间的任意重量（整磅数）。问这四块砝码碎片的重量各是多少？

2.问题分析

1、四块砝码重量加起来等于40磅
2、每块砝码的重量各不相同
3、四块砝码碎片可以在天平上称出1~40磅之间的任意重量（整磅数）
由此可知：问题的求解空间是有限的、可列的，使用穷举法是一种比较简便的方法。
算法描述：

Repeat:穷举组合{a,b,c,d}，其中a,b,c,d互不相等，并且a+b+c+d=40;
	if 组合{a,b,c,d}可以在天平上称出1~40磅之间的任意重量（整磅数）
		Then 输出该组合方式（答案），返回
	else 继续进行穷举操作
Until:穷举完毕

现在需要解决两个问题：
一、如何穷举组合{a,b,c,d}，a,b,c,d互不相等，且a+b+c+d=40？
对于该问题，我们可能很快可以写出如下的程序：

for(int i = 1; i < 40; ++i)
	for(int j = 1; j < 40; ++j)
		for(int k = 1; k < 40; ++k)
			for(int s = 1; s < 40; ++s)
			{
				if(i,j,k,s互不相等 && i+j+k+s=40)
					得到一个组合{a,b,c,d}，为该题的可能解
			}

这样的算法低效且冗余。
1、会对很多i,j,k,s相等的情况进行遍历
2、这里的组合{a,b,c,d}是不考虑排列方式的组合，即组合{1,2,3,4}与组合{4,3,2,1}其实质是一样的。
故推荐使用如下优化的算法：

for(int i = 1; i <= 40; ++i)
	for(int j = i+1; j <= 40-i; ++j)
		for(int k = j+1; k <= 40-i-j; ++k)
			for(int s = k+1; s <= 40-i-j-k; ++s)
				if(i+j+k+s == 40)
					得到一个组合{a,b,c,d}，为该题的可能解

该算法确保内层循环搜索范围小于外层循环搜索范围，这样每次得到的组合方式的4个元素都不会相等，且不会出现“相同组合、不同排列”的情况。
二、如何判断组合{a,b,c,d}可以在天平上称出1~40磅之间的任意重量（整磅数）？
如果将其形式化为数学符号，它其实就是要判断方程：
$x_1a_i+x_2b_i+x_3c_i+x_4d_i=W \ \ \ \ \ x_1,x_2,x_3,x_4\in \{-1,0,1\}$
在W=1,2,3…40时是否都有解。解空间限定在{-1,0,1}上。
例如：
假设有这样一个解{x1,x2,x3,x4}={1,0,-1,1}使得方程
$x_1a_i+x_2b_i+x_3c_i+x_4d_i=1$
有解，即
$1×a_i+0×b_i-1×c_i+1×d_i=1\\ \Rightarrow a_i+d_i=c_i+1$
这样天平的一边放上碎片ai和di，另一边放上碎片ci和一个1磅的砝码，天平就平衡了，这说明碎片{ai,bi,ci,di}可以称出1磅的重量。
算法描述如下：

int justify(int i, int j, int k, int s)
{
	int weight;
	for(weight = 1; weight <= 40; weight++)
	{
		//判断组合{i,j,k,s}是否可以称出1~40磅之间的任意重量
		if(!getWeight(i,j,k,s,weight))
			return 0;//不可以称出1~40磅之间的任意重量
	}
	return 1;//可以称出1~40磅之间的任意重量
}

getWeight算法描述如下：

int getWeight(int i, int j, int k, int s, int weight)
{
	int x1,x2,x3,x4;
	for(x1 = -1; x1 <= 1; ++x1)
		for(x2 = -1; x2 <= 1; ++x2)
			for(x3 = -1; x3 <= 1; ++x3)
				for(x4 = -1; x4 <= 1; ++x4)
					if(x1*i+x2*j+x3*k+x4*s == weight)
						return 1;//存在一组解
	return 0;
}

3.代码

#include "stdlib.h"
#include <iostream>
using namespace std;

int getWeight(int i, int j, int k, int s, int weight)
{
	int x1,x2,x3,x4;
	for(x1 = -1; x1 <= 1; ++x1)
		for(x2 = -1; x2 <= 1; ++x2)
			for(x3 = -1; x3 <= 1; ++x3)
				for(x4 = -1; x4 <= 1; ++x4)
					if(x1*i+x2*j+x3*k+x4*s == weight)
						return 1;//存在一组解
	return 0;
}
int justify(int i, int j, int k, int s)
{
	int weight;
	for(weight = 1; weight <= 40; weight++)		
		if(!getWeight(i,j,k,s,weight))//判断组合{i,j,k,s}是否可以称出1~40磅之间的任意重量
			return 0;//不可以称出1~40磅之间的任意重量
	return 1;//可以称出1~40磅之间的任意重量
}

void pieces()
{
	for(int i = 1; i <= 40; ++i)
		for(int j = i+1; j <= 40-i; ++j)
			for(int k = j+1; k <= 40-i-j; ++k)
				for(int s = k+1; s <= 40-i-j-k; ++s)
					if(i+j+k+s==40)											
						if(justify(i,j,k,s))//得到一个组合{a,b,c,d}，为该题的可能解
							cout << i << " " << j << " " << k << " " << s << endl;
					
}

int main(int argc, char* argv[])
{
	pieces();
	system("pause");
	return 0;
}
//结果为：1 3 9 27