SDUT-2498 AOE网上的关键路径

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本文介绍了一种求解AOE网（Activity On Edge）中关键路径的方法，使用SPFA算法来寻找从开始点到完成点的最长路径，并输出字典序最小的关键路径。适用于解决工程管理中的调度问题。

题目描述

一个无环的有向图称为无环图（Directed Acyclic Graph），简称DAG图。
AOE(Activity On Edge)网：顾名思义，用边表示活动的网，当然它也是DAG。与AOV不同，活动都表示在了边上，如下图所示：

如上所示，共有11项活动（11条边），9个事件（9个顶点）。整个工程只有一个开始点和一个完成点。即只有一个入度为零的点（源点）和只有一个出度为零的点（汇点）。
关键路径：是从开始点到完成点的最长路径的长度。路径的长度是边上活动耗费的时间。如上图所示，1 到2 到 5到7到9是关键路径（关键路径不止一条，请输出字典序最小的），权值的和为18。

输入

这里有多组数据，保证不超过10组，保证只有一个源点和汇点。输入一个顶点数n(2<=n<=10000),边数m(1<=m <=50000),接下来m行，输入起点sv，终点ev,权值w（1<=sv,ev<=n,sv != ev,1<=w <=20)。数据保证图连通。

输出

关键路径的权值和，并且从源点输出关键路径上的路径（如果有多条，请输出字典序最小的）。

示例输入

示例输出

该题是以最短路的思想，按照题意求最长路。但是Dijkstra O(n^2)和Bellman O(n*m)的算法对该题来讲显然会超时，所以为了减少复杂度需要用SPFA算法，该算法复杂度最多为O(2*n)。其次与以往不同该题需要输出路径，而且路径需要按字典序选取，所以反向建图会更方便记录路径。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>

using namespace std;

struct node
{
    int next;
    int v;
    int w;
}d[51000];
struct no
{
    int in,out;
}degree[11000];
int head[11000];
int dis[11000];
int pos[11000];
int vis[11000];
queue<int>q;
int top;

void creat(int x,int y,int w)
{
    d[top].next=head[x];
    d[top].v=y;
    d[top].w=w;
    head[x]=top++;
}
void SPFA(int s)
{
    int x,y;
    vis[s]=1;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        x=q.front();q.pop();
        vis[x]=0;
        for(int k=head[x];k!=0;k=d[k].next)
        {
           y=d[k].v;
            if(dis[x]+d[k].w>=dis[y])
            {
                if(dis[x]+d[k].w>dis[y])
                {
                    dis[y]=dis[x]+d[k].w;
                    pos[y]=x;
                    if(!vis[y])
                    {
                        vis[y]=1;
                        q.push(y);
                    }
                }
                else if(dis[x]+d[k].w==dis[y])
                {
                    if(x<pos[y])
                    {
                        pos[y]=x;
                        if(!vis[y])
                        {
                            vis[y]=1;
                            q.push(y);
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int n,m,e,s,i;
    int x,y,w,k;
    while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        top=1;
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(dis,0,sizeof(dis));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(degree,0,sizeof(degree));
        memset(pos,-1,sizeof(pos));
        for(i=0;i<m;i++)
        {
             scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
             creat(y,x,w);
             degree[y].out++;
             degree[x].in++;
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(degree[i].in==0) s=i;
            if(degree[i].out==0) e=i;
        }
        SPFA(s);
        printf("%d\n",dis[e]);
        k=e;
        while(pos[k]!=-1)
        {
            printf("%d %d\n",k,pos[k]);
            k=pos[k];
        }
    }
    return 0;
}