bzoj4025: 二分图【LCT维护生成树】

Description

神犇有一个n个节点的图。因为神犇是神犇，所以在T时间内一些边会出现后消失。神犇要求出每一时间段内这个图是否是二分图。这么简单的问题神犇当然会做了，于是他想考考你。

Input

输入数据的第一行是三个整数n,m,T。
第2行到第m+1行，每行4个整数u,v,start,end。第i+1行的四个整数表示第i条边连接u,v两个点，这条边在start时刻出现，在第end时刻消失。

Output

输出包含T行。在第i行中，如果第i时间段内这个图是二分图，那么输出“Yes”，否则输出“No”，不含引号。

Sample Input

3 3 3

1 2 0 2

2 3 0 3

1 3 1 2

Sample Output

Yes

No

Yes

HINT

样例说明：

0时刻，出现两条边1-2和2-3。

第1时间段内，这个图是二分图，输出Yes。

1时刻，出现一条边1-3。

第2时间段内，这个图不是二分图，输出No。

2时刻，1-2和1-3两条边消失。

第3时间段内，只有一条边2-3，这个图是二分图，输出Yes。

数据范围：

n<=100000，m<=200000，T<=100000，1<=u,v<=n，0<=start<=end<=T。

解题思路：

CDQ分治太高端，还是LCT好想一点。

一个图是二分图的充要条件：没有奇环。

关于环的问题一般要转化为生成树的问题，一条非树边就是一个简单环，即考虑非树边的影响。

而一个奇环的影响仅取决于环上删除时间最小的边，所以我们相当于要动态维护当前时刻关于删除时间的最大生成树，上LCT。

对于每个时刻，加入一条边时，若它为树边直接加，若形成环，则弹出环上删除时间最小的边，若同时为奇环，则将最小边加入一个集合，表示这条边存在时，图中总有奇环（偶环不用加这条边，因为若之后加入的边与这条边形成了奇环，那么新边一定能与其他边构成奇环）。

删去一条边时，若为树边直接删，就若在集合中，在集合中删去。
这样，在每一时刻，若集合大小为0则图为二分图。

注意LCT维护生成树不是把边权附到点上，而是把边也看做点向两个端点连边。那么边的sz为0，权值为删除时间；点sz为1，权值为正无穷。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')f=-1,c=getchar();
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}

const int N=500005,INF=10000000;
struct edge{int x,y,st,ed;}bian[N];
struct node{int t,id;}e1[N],e2[N];
inline bool cmp(const node &a,const node &b){return a.t<b.t;}
int n,m,T,cnt,top;
int fa[N],son[N][2],id[N],mn[N],val[N],size[N],rev[N],stk[N];
bool ontree[N],in[N];

int which(int x){return son[fa[x]][1]==x;}
bool rt(int x){return son[fa[x]][0]!=x&&son[fa[x]][1]!=x;}
int Min(int x,int y){return bian[x].ed<bian[y].ed?x:y;}
void update(int x)
{
    size[x]=size[son[x][0]]+size[son[x][1]]+val[x];
    mn[x]=Min(id[x],Min(mn[son[x][0]],mn[son[x][1]]));
}
void pushdown(int x)
{
    swap(son[x][0],son[x][1]);
    rev[x]=0;
    if(son[x][0])rev[son[x][0]]^=1;
    if(son[x][1])rev[son[x][1]]^=1;
}
int rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],t=which(x);
    if(!rt(y))son[z][which(y)]=x;
    fa[x]=z,fa[y]=x;
    son[y][t]=son[x][t^1],son[x][t^1]=y;
    if(son[y][t])fa[son[y][t]]=y;
    update(y),update(x);
}
void splay(int x)
{
    stk[top=1]=x;
    for(int i=x;!rt(i);i=fa[i])stk[++top]=fa[i];
    for(int i=top;i;i--)if(rev[stk[i]])pushdown(stk[i]);
    while(!rt(x))
    {
        if(!rt(fa[x]))
            which(x)==which(fa[x])?rotate(fa[x]):rotate(x);
        rotate(x);
    }
}
void access(int x)
{
    for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
    {
        splay(x),son[x][1]=y,update(x);
        if(y)fa[y]=x;
    }
}
int findroot(int x)
{
    access(x),splay(x);
    while(son[x][0])x=son[x][0];
    return x;
}
void makeroot(int x)
{
    access(x),splay(x),rev[x]^=1;
}
void link(int x,int y)
{
    makeroot(x),fa[x]=y;
}
void cut(int x,int y)
{
    makeroot(x),access(y),splay(y);
    fa[x]=son[y][0]=0;
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    //freopen("lx.out","w",stdout);
    n=getint(),m=getint(),T=getint();
    bian[0].ed=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        bian[i].x=getint(),bian[i].y=getint();
        bian[i].st=e1[i].t=getint(),bian[i].ed=e2[i].t=getint();
        e1[i].id=e2[i].id=id[i+n]=mn[i+n]=i;
    }
    sort(e1+1,e1+m+1,cmp),sort(e2+1,e2+m+1,cmp);
    for(int t=0,i=1,j=1;t<T;t++)
    {
        while(e1[i].t<=t&&i<=m)
        {
            int e=e1[i].id,x=bian[e].x,y=bian[e].y;
            if(findroot(x)!=findroot(y))link(x,e+n),link(e+n,y),ontree[e]=1;
            else
            {
                makeroot(x),access(y),splay(y);
                int tmp=mn[y],sz=size[y];
                if(bian[tmp].ed<bian[e].ed)
                {
                    cut(bian[tmp].x,tmp+n),cut(tmp+n,bian[tmp].y),ontree[tmp]=0;
                    link(x,e+n),link(e+n,y),ontree[e]=1;
                    e=tmp;
                }
                if(sz&1)cnt++,in[e]=1;
            }
            i++;
        }
        while(e2[j].t<=t&&j<=m)
        {
            int e=e2[j].id,x=bian[e].x,y=bian[e].y;
            if(ontree[e])cut(x,e+n),cut(e+n,y),ontree[e]=0;
            if(in[e])cnt--,in[e]=0;
            j++;
        }
        cnt?puts("No"):puts("Yes");
    }
    return 0;
}