TC srm518 Nim【动态规划+FWT】

最新推荐文章于 2020-12-25 15:47:42 发布

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#动态规划 #topcoder #FWT

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本文介绍了一种利用快速沃尔什-哈达玛变换(FWT)解决特定组合计数问题的方法。该问题要求计算长度为K且由不超过L的质数组成、异或和为0的序列个数。通过构建向量并应用FWT与快速幂运算，实现了高效求解。

题目大意：

求符合以下条件的序列个数：
1:长度为K
2:每个元素大小不超过L
3:每个数都是质数
4:所有数异或和为0
$K\le10^9,L\le 50000$
答案对 $10^9+7$ 取模；

解题思路：

我们设f[i][j]表示序列长度为i，异或和为j的方案数，那么
f[i][x ^ y]=f[i-1][x] * f[1][y]。

可以发现这个式子是符合FWT卷积的，所以我们设i维向量 $a_i$ 表示f[i]，其中 $a_1$ 里素数处为1，其余为0，那么 $a_i$ 就是把 $a_1$ 做i次FWT得到的

本来应该分治FWT做到 $O(Llog_2Llog_2k)$ ，但由于每次乘的都是 $a_1$ ，所以可以先对 $a_1$ FWT求最终长度的 $tf(a_1)$ ，然后直接快速幂求 $tf(a_1)$ 的k次方，再UFWT即可，答案即为第0项。

时间复杂度为 $O(Llog_2L+Llog_2K)$

不会FWT的可以看一看http://blog.youkuaiyun.com/cdsszjj/article/details/78911512
里面有讲解和模板。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=50005,p=1e9+7;
int n,k,len,inv,a[1<<16];

int ksm(int x,int y)
{
    int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%p)
        if(y&1)res=1ll*res*x%p;
    return res;
}

void FWT()
{
    for(int d=1;d<len;d<<=1)
        for(int i=0;i<len;i+=(d<<1))
            for(int j=0;j<d;j++)
            {
                int x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                a[i+j]=(x+y)%p,a[i+j+d]=(x-y+p)%p;
            }
}

void UFWT()
{
    for(int d=1;d<len;d<<=1)
        for(int i=0;i<len;i+=(d<<1))
            for(int j=0;j<d;j++)
            {
                int x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                a[i+j]=1ll*(x+y)*inv%p,a[i+j+d]=(1ll*(x-y)*inv%p+p)%p;
            }
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&k,&n);
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!a[i])
            for(int j=(i<<1);j<=n;j+=i)
                a[j]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)a[i]^=1;
    len=1,inv=ksm(2,p-2);
    while(len<=n)len<<=1;
    FWT();
    for(int i=0;i<len;i++)a[i]=ksm(a[i],k);
    UFWT();
    printf("%d",a[0]);
    return 0;
}