如何通俗地理解相似矩阵

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#线性代数 #相似矩阵 #矩阵

于 2022-05-19 17:17:38 首次发布

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本文介绍了相似矩阵的概念，强调它们代表同一个线性映射在不同基下的表示。通过自然基和非自然基的转换，展示了矩阵如何在坐标变换下保持映射不变，并通过一个旋转矩阵的例子详细阐述了相似矩阵的求解过程。

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如何通俗地理解相似矩阵

同学们大家好，今天我们来学习相似矩阵。

1 简单印象

设 $\boldsymbol{A,B}$ 都是 $n$ 阶方阵，若有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得：

$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP}$

则称 $\boldsymbol{P}$ 为相似变换矩阵（Similarity transformation matrix），称 $\boldsymbol{B}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的相似矩阵（Similar matrix），记作：

$\boldsymbol{A}\simeq \boldsymbol{B}$

既然相似，则一定有相同点，相同点是什么呢？它们是同一个线性映射，在不同基下的代数表达。

2 解释

我们知道，线性映射是将一个向量映射到另一个向量，比如这里将 $\boldsymbol{x}$ ，映射成 $\boldsymbol{y}$ 。

2.1 自然基

将 $\boldsymbol{x}$ 在自然基下的坐标向量用 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{E}}$ 表示, $\boldsymbol{y}$ 在自然基下的坐标向量用 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{E}}$ 表示。矩阵 $\boldsymbol{A}$ 就是将坐标向量 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{E}}$ ，映射到坐标向量 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{E}}$ 。

这里坐标向量 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{E}}=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}$ ,坐标向量 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{E}}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ ,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 就是把 $\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}$ 转换为 $\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$

$\boldsymbol{A}\underbrace{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}_{[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{E}}}=\underbrace{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}_{[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{E}}}$

2.2 非自然基

还是将 $\boldsymbol{x}$ 映射成 $\boldsymbol{y}$ ,现在将这个映射表示在非自然基下。

将 $\boldsymbol{x}$ 在非自然基下的坐标向量用 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{P}}$ 表示, $\boldsymbol{y}$ 在非自然基下的坐标向量用 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{P}}$ 表示。矩阵 $\boldsymbol{B}$ 就是将坐标向量 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{P}}$ ，映射到坐标向量 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{P}}$ 。

这里坐标向量 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{P}}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, [\boldsymbol{y}]_{\mathcal{P}}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ 。矩阵 $\boldsymbol{B}$ 就是把 $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ 转换为 $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

$\boldsymbol{B}\underbrace{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}_{[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{P}}}=\underbrace{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}_{[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{P}}}$

也就是说矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，都是将 $\boldsymbol{x}$ 映射到向量 $\boldsymbol{y}$ ，而它们只是不同基下的不同代数表达

2.3 联系

假如我们可以通过某矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，将坐标向量 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{P}}$ 变换为坐标向量 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{E}}$ ,矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$ ，将坐标向量 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{E}}$ 变换为坐标向量 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{P}}$

这个时候 $\boldsymbol{B}$ 和 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$ 都是将 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{P}}$ 映射为 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{P}}$ ,因此它们是相等的,即

$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}$

还有疑问？没关系，下面我们再来看个例子

3 例子

例： $\mathcal{P}:\boldsymbol{p}_1=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix},\boldsymbol{p}_2=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中的一组基，求这个基下的旋转矩阵 $\boldsymbol{B}$

3.1 思路

先说思路，根据题意，首先画出平面，代表 $\mathbb{R}^2$ 。然后标注出基 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2$

平面内任取一个点,通过矩阵 $\boldsymbol{B}$ 就能对其进行旋转。

下面，我们把这个过程分为映射前，与映射后。映射前用紫色表示，映射后用金色表示。

假设旋转前的点在基 $\mathcal{P}$ 下的坐标为 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{P}}$ ,旋转后的点在基 $\mathcal{P}$ 下的坐标为 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{P}}$ ,我们要求解的矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，就是将坐标向量 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{P}}$ ，映射为坐标向量 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{P}}$

如何求呢？借助自然基,假设映射前的点在自然基下的坐标为 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{E}}$ ,映射后的点在自然基下的坐标为 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{E}}$ ,那么利用自然基下的旋转矩阵 $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ ,就能将 $[\boldsymbol{x}]_{\mathcal{E}}$ 映射成 $[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{E}}$

$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} [\boldsymbol{x}]_{\mathcal{E}}=[\boldsymbol{y}]_{\mathcal{E}}$

既然自然基可以完成旋转，那么下面只需要将非自然基转到自然基，旋转后，再转回非自然基就可以了,也就是下图中的橘色路径。

下面，我们就尝试把橘色路径表示出来。假设左边箭头的映射我们可以用矩阵 $\boldsymbol{P}$ 完成,那么右边箭头代表的映射就可以用 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 表示。

从图中我们可以看到，左边这个箭头是将非自然基下的点映射到自然基下。根据基变换的知识可知，变换所用到的矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，就是非自然基到自然基的过渡矩阵。而此过渡矩阵就是由非自然基构成的，即:

$\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2)$

这样

$\boldsymbol{P}^{-1}=(\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2)^{-1}$

而 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2$ 在题目中已经给出了,这样,橘色路径上的所有元素我们就都知道了。思路讲完了，下面开始求解。

3.2 求解

根据题意,可列出等式

$\boldsymbol{B}=(\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2)^{-1}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}(\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2)$