【线性代数】---相似矩阵

第一章 相似矩阵

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一、相似矩阵

设A、B都是n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使 P^-1AP=B，则称B是A的相似矩阵，记之A~B

1. 两矩阵相似，则两矩阵的行列式，迹（主对角线和）、秩、特征值均相等
2. 两矩阵特征值相等，且相等的特征值对应的线性无关的特征向量个数相等

二、对角矩阵

1. n阶方阵A能与对角矩阵L相似的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量。

对角矩阵有多少个特征值，就对应着有多少个特征向量，不存在多个（强调个数）特征值对应着一个特征向量

三、实对称矩阵

1. 实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的
2. n阶实对称矩阵A必可相似对角化(相似于对角矩阵)，且对角阵上的元素即为特征值；

四、合同矩阵

设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使B=C^TAC，则称矩阵A与B合同。
注：任一实对称矩阵必合同于一对角矩阵。

1. 两矩阵合同的充分必要条件是两矩阵有相同的正、负惯性指数
2. 与实对称矩阵合同的必是实对称矩阵

五、特征值与特征向量

设A为n阶方阵，若数λ和n维的非零列向量x，使关系式Ax=λx成立，则称数λ为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应与特征值 的特征向量。

1.求特征值和特征向量

1. Ax=λx （用于抽象矩阵）
2. |A-λE|=0 (用于具体矩阵)
3. (A-λE)x=0 (用于求特征向量)

求特征值对应的特征向量时只能进行初等行变换，不要进行初等列变换

2.特征值与特征向量

1. 设λ是实对称矩阵A的k重特征值，则矩阵A-λE的秩R(A-λE)=n-k，从而对应k重特征值λ恰有k个线性无关的特征向量。
2. 矩阵的特征值之和等于其主对角线之和
3. 矩阵特征值乘积等于其行列式的值

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