泰勒公式系列之一多项式逼近

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#高等数学 #微积分 #泰勒公式

于 2022-05-19 11:47:50 首次发布

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本文深入介绍了泰勒公式，重点探讨了零点展开的多项式如何逐步逼近光滑函数。通过实例展示了如何利用幂函数的奇偶性调整多项式，使其更好地拟合曲线，同时提到了系数调整的重要性。虽然未涉及余项和具体系数计算，但为后续深入学习奠定了基础。

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泰勒公式系列

同学们大家好，今天我们来学习泰勒公式。

$f(x)=\sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+R_{n}(x)$

泰勒公式由两部分组成:第一部分为多项式,第二部分为余项

它其实是光滑函数的另一种表达。

1 泰勒公式表示光滑函数

以光滑函数 $e^x$ 为例(下图中的绿色曲线)。多项式是如何逼近的。

注意到此时，多项式是约等于光滑函数。而如果加上余项后，约等号就能变成等号了。

$e^{x}\color{red}{=}1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+ \frac{x^6}{6!}+R(x)$

在本文中，我们不讨论余项，单看多项式是如何逼近光滑函数的

$\sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n} \longrightarrow f(x)$

2 多项式中的 $a$

在多项式中，除了自变量 $x$ ，还有一个可以变动的参数 $a$

$\sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(\color{red}{a})}{n !}(x-\color{red}{a})^{n}$

它代表的是泰勒公式的展开位置。 $a=-1$ 时，泰勒公式在 $x=-1$ 点处展开。

此时，多项式与光滑函数在 $x=2$ 点附近贴合的较好

$a=1$ 时，泰勒公式在 $x=1$ 点处展开。此时多项式与光滑函数在 $x=1$ 点附近贴合的较好。

本文将以 $a=0$ ,即泰勒公式在 $x=0$ 点展开为例，讲解多项式是如何逼近光滑曲线的。

$\sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}\xrightarrow{\quad a=0 \quad} \quad \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}$

3 幂函数

将多项式展开

$\sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(N)}(0)}{N !} x^{N}$

去掉系数后，可以看到多项式的基础组成部分是幂函数

$\cancel{f(0)}+\cancel{f^{\prime}(0)} \color{red}{x}+\cancel{\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}} \color{red}{x^{2}}+\cdots+\cancel{\frac{f^{(N)}(0)}{N !}} \color{red}{x^{N}}$

幂函数可以分为偶函数和奇函数两种

偶函数开口方向相同，奇函数开口方向相反

它们组合在一起就能产生拉伸的曲线

让我们看个更复杂的例子

4 复杂的例子

4.1 第一次靠近

蓝色表示的是光滑函数，多项式是 $x$ 的一次方

此时可以看到，在绿色区域，多项式与光滑函数贴合的较好，而红色区域，多项式开始远离光滑函数。

为了贴近光滑函数，左边的红色区域需要向上弯，右边的红色区域需要向下弯。

两边弯的方向不一致，需要的是奇函数。这里选择 $-x^3$

与多项式相加，确实达到了左边向上，右边向下的效果。

但是，之前表现较好的绿色区域，却出现了多项式与光滑函数贴合不好的情况。

说明弯的有点过头了，这时可以考虑给 $-x^3$ 加一个系数。加上系数后，奇函数显得更为扁平。

此时再与多项式相加，就达到了预期的效果。

4.2 第二次靠近

接着，为了继续靠近，需要左边向下弯，右边向上弯

弯的方向不一致，还是选择奇函数

与此奇函数相加，多项式更贴合光滑函数了

看完这个例子，让我们回到本文开始的地方。

5 开头的例子

需要逼近的光滑曲线用蓝线表示，多项式的第一项是常数1

为了靠近光滑函数，需要左边向下弯，右边向上弯

弯的方向不一致，需要加奇函数，选择与 $x$ 的一次方相加。相加后的多项式呈一条斜的直线

此时为了逼近光滑函数，需要同时向上弯。

弯的方向一致，需要加偶函数，选择与 $\frac{x^2}{2!}$ 相加。

随着项数的增加，多项式不断逼近光滑曲线。

6 总结

这节课，我们学习了泰勒公式。并着重讲解了，零点展开的多项式，如何逼近光滑函数。

$\sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n} \longrightarrow f(x)$

不过对于系数该怎么确定，余项代数式如何表达，都没有展开

这些留待以后的文章再给同学们讲解。

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