多项式逼近连续函数

  本文可作为线性代数实现线性回归的下篇,先简单回顾一下，线性代数实现线性回归中介绍了子空间的概念，把子空间想象成一个超平面，子空间中任意一个向量都可以用子空间的基线性组成，线性回归原理是已知一个超平面和超平面外的一个向量，该向量与在超平面上的投影距离最短，或者说误差最小，在得到这个投影的同时就知道了未知参数，未知参数是投影在子空间基上的坐标。

    上篇中介绍的空间是一个由向量组成的空间，向量中元素是实数。 本文将拓展子空间的概念，空间的元素是函数称之为函数空间，这个空间里面有我们熟悉的各种函数以及这些函数的线性组合。函数空间里的子空间是一系列性质相似的函数集合，比如三角函数可以组成一个子空间，由数学分析知道利用三角函数可以实现傅里叶变换，将其他函数表示为三角函数线性组合成的级数形式。本文中选取的空间是一个多项式空间，即其空间里基是x0,x1,x2,x3,...xn...等多项式，需要将其他函数投影到这个子空间里，其运用的知识还是来自于线性代数。

    使用上图来说明函数空间，AP代表了函数空间里的一个函数，而下面的平面代表了多项式子空间，AP在多项式空间里的投影AC就是与AP误差最小的多项式，AC是x0,x1,x2,x3,...xn等多项式的线性组合，我们目标就是求出这个线性组合表达式中每个基前面的系数(坐标)。

一、一元多项式逼近任意一元连续函数

    这里结合一段python代码说明，这段代码的功能是利用多项式逼近函数f(x)=sin(x)-3cos(x)。 

import numpy as np

import math

from sympy import *

from scipy.integrate import tplquad, dblquad, quad

from scipy.linalg import *

import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

NSplit_Num = 10000


class polynomialAppro(object):

    def __init__(self, split=1000):

        self.splitnum = split

        pass

 &n