定理:
如果一个局面先手必胜,就称之为N局面,反之称之为P局面。对于一个局面,令S=P1 XOR P2 XOR P3 XOR … XOR Pn。若S=0则为P局面,否则为N局面。
证明:
1.当P1=P2=….=Pn=0时,S=0,满足终状态是P局面。
2.若S=0,即P1 XOR … XOR Pn=0,若取堆i中的石子,Pi>Pi’,S ->S’,Pi>Pi’,则Pi XOR Pi’<>0。所以S’ XOR Pi XOR Pi’=S=0,即S’=Pi XOR Pi’<>0。满足P局面的所有子局面都是N局面。
3.若S<>0,设S的二进制位是A1…An,考虑第一位是1的。在P中取出该位同是1的,不妨设为P1。可知P1 XOR S<P1,令P1’=P1 XOR S。可知P1’ XOR P2 XOR … XOR Pn=0。即N局面存在至少一个子局面是P局面。