【博弈论】NIM定理

 

定理：

  如果一个局面先手必胜，就称之为N局面，反之称之为P局面。对于一个局面，令S=P1 XOR P2 XOR  P3 XOR  … XOR  Pn。若S=0则为P局面，否则为N局面。

证明：

1.当P1=P2=….=Pn=0时，S=0，满足终状态是P局面。

2.若S=0，即P1 XOR … XOR Pn=0，若取堆i中的石子，Pi>Pi’，S ->S’，Pi>Pi’，则Pi XOR  Pi’<>0。所以S’ XOR  Pi XOR  Pi’=S=0，即S’=Pi XOR Pi’<>0。满足P局面的所有子局面都是N局面。

3.若S<>0，设S的二进制位是A1…An，考虑第一位是1的。在P中取出该位同是1的，不妨设为P1。可知P1 XOR  S<P1，令P1’=P1 XOR S。可知P1’ XOR P2 XOR … XOR Pn=0。即N局面存在至少一个子局面是P局面。