【博弈论】NIM定理

 

定理:
  如果一个局面先手必胜,就称之为N局面,反之称之为P局面。对于一个局面,令S=P1 XOR P2 XOR  P3 XOR  XOR  Pn。若S=0则为P局面,否则为N局面。
证明:
1.P1=P2=.=Pn=0时,S=0,满足终状态是P局面。
2.S=0,即P1 XOR XOR Pn=0,若取堆i中的石子,Pi>PiS ->SPi>Pi,则Pi XOR  Pi<>0。所以S XOR  Pi XOR  Pi=S=0,即S=Pi XOR Pi<>0。满足P局面的所有子局面都N局面。
3.S<>0,设S的二进制位是A1An,考虑第一位是1的。在P中取出该位同是1的,不妨设为P1。可知P1 XOR  S<P1,令P1=P1 XOR S。可知P1 XOR P2 XOR XOR Pn=0。即N局面存在至少一个子局面是P局面。
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