博弈论Nim取子问题，困扰千年的问题一行代码解决

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今天是算法与数据结构专题26篇文章，我们来看看一个新的博弈论模型——Nim取子问题。

这个博弈问题非常古老，延续长度千年之久，一直到20世纪初才被哈佛大学的一个数学家找到解法，可见其思维的难度。但是这个问题本身却很有意思，推导的过程更是有趣，哪怕你没有多少数据基础也一定可以看明白。

Nim取子问题

这个问题的题面是这样的，我们有3堆石子，有A和B两个人轮流从其中的一堆取石子。规定每个人每次最少取1颗，最多可以取完当前堆，无法继续拿取石子的人落败。请问如果你是先手，你有必胜策略吗？

根据我们之前分析威佐夫博弈问题的套路，我们需要先来分析一下问题，找到一些典型的局面。比如说(0, 0, 0)对于先手来说一定是必败的，同理，对于一个(0, n, n)的局面，也一样是必败的。因为不论先手怎么取石子，后手只需要在另外一堆石子当中如法炮制，那么留给先手的依然是一个(0, n, n)的局面。在博弈论问题当中，我们通常会将先手必败的局面称为奇异局势。

那么这些奇异局势之间有没有什么关联呢？我们能不能找到这些局面之间的联系或者是公式呢？

我们光是靠脑子想或者是用纸笔去罗列我们所能想到的奇异局面是很难想出来的，不然也不会困扰人们长达一千多年了。但是这个问题的谜底却又如此简单，简单到让人不可思议。

首先，我们先来思考一个问题，这个问题之所以复杂，根本原因在于石子有3堆，而不是两堆。如果石子有两堆，那么就很容易了，先手除非面临两堆石子相等的情况，否则必胜。因为它可以通过拿取石子留下两堆一样的给后手，这样不论后手如何拿取，先手只需要在另一堆当中采取同样的操作，就必然可以给后手留下奇异局势。这和我们刚才分析的(0, n, n)的局面是一样的。