递归程序复杂度计算->主定理

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本文介绍了递归算法时间复杂度的计算方法，利用主定理来解析递归方程，得出不同情况下时间复杂度的表现形式。具体分为三种情况：当多项式的阶高于对数项时、等于对数项时及低于对数项时的时间复杂度表现。

对于递归算法的时间复杂度的阶的计算，一般使用主定理计算：

T(n)=aT(n/b)+f(n),一般f(n)执行为多项式时间，即T(n)=a(n/b)+O(n^d)

1.d>logb a,T(n)=O(n^d)

2.d=logb a,T(n)=O(n^d*logn)

3.d<logb a,T(n)=O(n^(logb a))

其中，logb a为以b为底a的对数

应用Master定理求解递归方程
10-04 3829
Master定理也叫主定理，它提供了一种通过渐近符号表示递推关系式的方法。应用Master定理可以很简便的求解递归方程。然而又应该如何应用Master快速求解递归方程式并且避开Master 定理的坑呢？本文中将会对这些问题进行详细描述。
算法导论-计算时间复杂度主定理
shenyanxxxy的专栏
08-06 2249
递归式与分治方法是紧密相关的，因为使用递归式可以清晰的刻画分治算法的运行时间。 主方法如下： T(n) = aT(n/b) + f(n) a>=1 b>1 f(n) 是给定的函数。这种形式的递归式很常见。刻画了一个分治算法。生成a个子问题。每个子问题是原来的1/b。分解和合并步骤共消耗f(n) 主方法是计算时间复杂度的时候用的。 利用上面的这个定理就可以计算递归式的时间复杂度了，
算法设计与分析-主定理原理
qq_65213554的博客
12-20 1236
主定理原理-算法设计与分析
分治算法时间复杂度计算（主定理）
Devotion_dream的博客
07-03 5523
在计算机科学中，主定理（Master Theorem）用于解决递归关系的渐进界。特别是在分析分治算法的复杂度时，主定理提供了一种简便的方法来确定递归方程的时间复杂度。Tna×Tbn​fna≥1b1fn：如果fnOnc其中clogb​aTnΘnlogb​a：如果fnΘnc其中clogb​aTnΘnclognΘnlogb​alogn：如果fnΩnc其中clogb。
递归式求解-主定理
Code is to be happy
01-05 7671
1.主定理:设a>=1和b>1为常数,设f(n)为一函数,T(n)由递归式 对非负整数定义,其中n/b指下取整或上取整.那么T(n)可能有如下的渐进界: (1)若对于某常数 ε>0,有,则; (2)若.则; (3)若对于某常数 ε>0,有,且某常数 c,则 2.主定理的使用方法. 由主定理的三种情况可以看出,每一种情况都要比较 f(n) 与进行比较.(求复杂度时,通
递归程序的时间复杂度分析---主定理
kakafan的专栏
08-27 1101
递归表达式： T(n)= aT(n/b) + f(n)主定理根据递归表达式生成的递归树有三种情况，树中的总代价1. 所有的叶节点的代价决定 （n^(logb^a)）；2. 均匀分布在各层上（n^(logb^a) * lgn）；3. 由根节点的代价决定 （f(n)）。 
递归时间复杂度分析方法：Master 定理
未来就在脚下。
04-15 1193
编写算法时，可能因为对自己代码的复杂度的不清晰而导致错失良机，对于普通的递推或者说循环的代码，仅用简单的或者和即可分析，但是对于递归的代码，简单的递归树法并不方便，理解并记下，可以让事情变得轻松。写此文以作笔记，如有错误，请联系博主。
[主定理证明]递归算法时间复杂度怎么算？
ssw的博客
03-22 1560
文章目录分治算法递归式主定理方法定理描述：证明主定理nnn为bbb的幂次向上向下取整增加常数规模重现三种情况情况3的弱条件 分治算法 分治算法强调递归的求解一个问题，每个递归都有三个步骤： 分解：将问题分解为子问题，子问题规模<<<原问题规模； 解决：解决递归最底层无法分解的子问题； 合并：将已解决的最小问题递归至上一层直至到根节点。 递归式 递归式是描述分治算法的一个等式或不等式，例如归并排序递归式为： T(n)={Θ(1)n=12T(n2)+Θ(n)n>1 T(n)=\le.
三种方法求递归算法的时间复杂度（递推，master定理，递归树）
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三种方法： 递推方法求递归算法的时间复杂性 Master定理方法求递归算法时间复杂性 递归树求解递归方程 1.递推方法求递归算法的时间复杂度 我们先来看一个经典的案例，汉诺塔问题 汉诺塔（Hanoi Tower），又称河内塔，源于印度一个古老传说。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，任何时候，在小圆盘上都不能放大圆盘，且在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。问应该如
主定理方法求递归算法时间复杂性
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02-23 450
有关主定理方法求递归算法时间复杂性的介绍和例题。
递归问题时间复杂度求解-主定理Master Theorem
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递归时间复杂度渐近分析-主定理分析方法
主定理求解算法时间复杂度
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主定理 所谓主定理，就是用来解递归方程的一种方法，此方法可以用来求解大多数递归方程。 设递归方程为T(n)=aT(n/b)+f(n)  （其中a≥1，b＞1） 主定理：      1. 如果存在常数ε＞0有f(n)=O(n^(logb^a-ε)),则T(n)=Θ(n^(logb^a))；      2. 若f(n)=Θ(n^(logb^a))，则T(n)=Θ(n^(logb^a)logn...
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1、主方法使用条件 用主方法求解递归式有条件，必须要求递归式为以下形式： 其中a>=1,b>1，f(n)渐进趋正，意为对足够大的n，f(n)是正的，即n>=n0n_0n0​时，f(n)>0。 其中 n为问题规模， a为递推的子问题数量， n/b 为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样）， f(n)为递推以外进行的计算工作。 2、主方法具体使用 **核心是比较f(...
算法学习之求解递归式~主定理
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算法学习之求解递归式~主定理 一、主定理定义 令a>=1和b>1是常数，f(n) 是一个函数，T(n) 是定义在非负整数上的递归式： T(n)=aT(n/b)+f(n) T(n)=aT(n/b)+f(n) T(n)=aT(n/b)+f(n) 其中我们将n/b解释为 ⌊n/b⌋或⌈n/b⌉ \lfloor n/b \rfloor 或 \lceil n/b \rceil⌊n/b⌋或⌈n/b⌉ 那么T(n) 有如下渐进界： 若对某个常数ε>0有f(n)=O(nlog⁡ba−ε)f(n)
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符号 Notation 渐进符号 Asymptotic Notation 渐进符号 非渐进符号 含义 \(f(n) = O(g(n))\) \(f(n) \le cg(n)\) g是f的上界 \(f(n) = o(g(n))\) \(f(n) \lt cg(n)\) g是f的严格上界 \(f(n) = \Omega(g(n))\) \(f(n) \ge cg(n)\) g是f...
主定理计算时间复杂度
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09-18 3563
在这种情况下，算法的时间复杂度 T(n) 可以表示为：T(n)=a⋅T(n/b​)+f(n)：如果f(n)=Ω(nlogb​a+ϵ)，对于某个ϵ>0，且af(bn​)≤kf(n) 对于k0，则T(n)=Θ(nlogb​a)。：如果f(n)=Θ(nlogb​a)，则T(n)=Θ(nlogb​alogn)。
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【算法设计与分析】1.主定理
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主定理求解递归时间复杂度
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主定理（Master Theorem）是一种用于快速求解分治法算法递归关系式的时间复杂度的工具，特别适用于将问题递归地分解为子问题的情况。主定理适用于形如 $T(n) = aT(\frac{n}{b}) + f(n)$ 的递归关系式，其中：$a$ 表示子问题的数量（$a \geq 1$），$b$ 表示每个子问题的规模（$b > 1$），$f(n)$ 表示划分和合并子问题的额外开销（通常为 $n$ 的函数），目标是直接给出 $T(n)$ 的渐进上界（大 $O$ 记法），无需展开所有递归项[^2]。 主定理有三种形式： 1. **情况一**：如果 $f(n) = O(n^{\log_b a - \epsilon})$，其中 $\epsilon > 0$，那么 $T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$。这意味着当 $f(n)$ 的增长速度比 $n^{\log_b a}$ 慢时，递归部分的复杂度起主导作用。 2. **情况二**：如果 $f(n) = \Theta(n^{\log_b a})$，那么 $T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n)$。此时，$f(n)$ 和递归部分的复杂度具有相同的增长速度，最终的复杂度为 $n^{\log_b a}$ 乘以对数因子。 3. **情况三**：如果 $f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$，其中 $\epsilon > 0$，并且对于某个常数 $c < 1$ 和足够大的 $n$，有 $a f(\frac{n}{b}) \leq c f(n)$，那么 $T(n) = \Theta(f(n))$。即当 $f(n)$ 的增长速度比 $n^{\log_b a}$ 快时，$f(n)$ 起主导作用。 以下是使用主定理分析归并排序时间复杂度的示例： 归并排序的递归关系式为 $T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + \Theta(n)$，这里 $a = 2$，$b = 2$，$f(n) = \Theta(n)$。 计算 $n^{\log_b a} = n^{\log_2 2} = n$，而 $f(n) = \Theta(n)$，符合主定理的情况二。 所以归并排序的时间复杂度为 $T(n) = \Theta(n \log n)$。 ```python def merge_sort(arr): if len(arr) <= 1: return arr mid = len(arr) // 2 left = merge_sort(arr[:mid]) right = merge_sort(arr[mid:]) return merge(left, right) def merge(left, right): result = [] i = j = 0 while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]: result.append(left[i]) i += 1 else: result.append(right[j]) j += 1 result.extend(left[i:]) result.extend(right[j:]) return result ```
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