实对称矩阵性质的数学证明

在进行实对称矩阵性质的数学证明之前，先证明一些会用到的有用理论。首先先引入复数的共轭概念：

• 假设z是复数(complex number)，z = a + bi，则z的共轭（conjugate of z）则写作$\overline{z} =a\ -bi$，利用复数的运算法则一下5条性质不难证明：
  $$\begin{gathered} \overline{z+w} =\overline{z} +\overline{w}\\ \overline{zw} =\overline{z} *\overline{w}\\ z\overline{z} =a^{2} +b^{2}\\ \overline{\lambda \mathbf{x}} =\overline{\lambda } *\mathbf{\overline{x}}\\ \overline{AB} =\overline{A} *\overline{B} ,A\in C^{m*n} ,B\in C^{n*k} \end{gathered}$$
  其中最后一条性质用矩阵的乘法规则即可证明
  
  AB⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=A{ b1, b2, ..., bk}⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯={ Ab1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, Ab2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ..., Abk⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯}Ab1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜a1b1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯a2b1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯...amb1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟∵a1b1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = a1⎯⎯⎯⎯⎯⎯∗b1⎯⎯⎯⎯⎯⎯∴Ab1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=⎛⎝