47、从戈帕码生成紧凑的麦利耶斯密钥

从戈帕码生成紧凑的麦利耶斯密钥

1. 戈帕码相关特性

在编码领域，戈帕码是一种重要的编码类型。对于普通的戈帕码，其占用 $k(n - k) = mkt$ 比特。若 $t$ 不是 2 的幂次方，设 $t = 2^uv$（其中 $v > 1$ 为奇数），那么 $t × t$ 矩阵相乘的成本通常为 $O(2^uuv^3)$，而非简单的 $O(2^uu)$，并且最终的奇偶校验矩阵只能压缩 $2^u$ 倍。

对于通过特定算法生成的每个码，这种构造方式生成的码的数量为 $\binom{N/t}{\ell} × \ell! × t^{\ell}× (r - 1)^{\ell}$，因此理论上有 $\binom{N/t}{\ell} × \ell! × t^{\ell}× (r - 1)^{\ell}× \sum_{i = 0}^{\lceil \lg N\rceil}(q - 2^i)$ 种可能的码。

2. 一个示例

设 $F_{2^5} = F_2[u]/(u^5 + u^2 + 1)$，二元签名 $h = (u^{20}, u^3, u^6, u^{28}, u^9, u^{29}, u^4, u^{22}, u^{12}, u^5, u^{10}, u^2, u^{24}, u^{26}, u^{25}, u^{15})$ 以及偏移量 $\omega = u^{21}$ 定义了一个长度 $N = 16$ 的 2 - 错误纠正二元戈帕码，其中 $g(x) = (x - u^{12})(x - u^{15})$，支持集 $L = (u^{21}, u^{29}, u^{19}, u^{26}, u^6, u^{16}, u^7, u^5, u^{25}, u^3,