文章目录
一个展示各种类型的机器数表示的在线网站：http://www.binaryconvert.com/index.html
定点数
定点数的表示
定点小数本质上和定点整数没有区别，这里只讨论定点整数
基本概念：
在计算机中参与运算的机器数有两大类：
-
无符号数：没有符号位，机器数就是真值的二进制表示
-
有符号数：最高位为符号位，0表示正数，1表示负数【移码特殊，1正0负】
原码、反码、补码、移码是计算机对于定点数的几种表示方法
-
原码是真值直观的机器数表示，用机器数的最高位表示该数的符号，其余的各位表示数的绝对值，零表示不唯一。
-
补码是原码全部取反后加一，将减法运算转换成加法运算，零表示唯一。
原码表示法的加减法操作比较复杂，对于两个不同符号数的加法（或同符号数的减法），先要比较两个数的绝对值大小，然后用绝对值大的数减去绝对值小的数，最后还要给结果选择合适的符号。
-
反码是原码全部取反，零表示不唯一
-
移码是用真值 X \rm X X 加上一个常数，这个数通常取 2 n 2^n 2n，通常用来表示浮点数的阶码，只能用于表示整数，零表示唯一
详细见下方 “一点探究”
定点数的运算
移位运算
-
算数移位（针对有符号数）
-
原码：高低位补 0
-
反码：高低位补符
-
补码：高位补符，低位补 0【可见补码右侧（从右往左数第一个1右边）与原码性质相同，左侧与反码性质相同】
-
-
逻辑移位（针对无符号数）
- 全补0
-
循环移位
符号扩展（Type Cast 类型转换）
假设从A类型 -> B类型，如果B类型包含A类型能表示的所有数，简单说就是从“小”转“大”，就可以进行无损（无精度丢失）转换
char -> int -> long -> double，float -> double
虽然书上是说从 float 到 double 转换过程中没有损失/误差，但如果一个小数是没办法有二进制表示出来的时候，这个转化不算是损失，但也是有误差的，不过做题的话还当做没有损失吧
int main() {
float f = 1.25; double d = 1.25;
cout << (d == (double)f) << endl;
float f1 = 1.2;
double d1 = 1.2, d2 = f1;
cout << (d1 == (double)f1) << endl;
cout << (d1 == d2) << endl;
cout << d1 << endl;
cout << d2 << endl;
cout << (f1 == (float)(double)f1) << endl;
return 0;
}
溢出判断
定点数溢出
-
上溢：大于机器所能表示的最大正数
-
下溢：小于机器所能表示的最小负数
浮点数溢出
- 上溢会引发中断
- 下溢做机器零处理
关于浮点数溢出的定义网上群魔乱舞，这里我相信王道资料写的
溢出判断方法
-
参加操作的两个数符号相同，结果与操作数符号不同，即为溢出
-
最高位与次高位进位相同则无溢出，否则溢出
-
双符号位时（变形补码，模四补码），相同无溢出；不同则溢出。此时最高位符号代表真正符号
-
01表示正溢出：两个正数相加导致的溢出
-
10表示负溢出：两个负数相加导致的溢出
-
其它
-
发生进位/借位，标志位
CF = 1 -
发生溢出 标志位
OF = 1 -
无符号数一般不讨论溢出的问题，只有进位/借位问题
-
无符号数需要进位/借位的简单计算方法 P56
加减乘除运算
…
数据的存储和排列
小端存放
将最低有效字节存储在地址编号最小的位置，就是我们感觉上的“倒着存“
比如一个 int 类型的变量机器数为 01234567H ，i 的地址为 00H，则对应关系如下
| 00H | 01H | 02H | 03H |
|---|---|---|---|
| 67H | 45H | 23H | 01H |
“倒过来存”是针对最小数据单元，int 整数是符合小端存储的，string 字符串并不符合，因为字符串一个最小数据单元就一个字节，那还往哪儿倒呢（汉字另说）
边界对齐
数据不按边界对齐方式存储时，可以充分利用存储空间，但半字长或字长的指令可能会存储在两个存储字中，此时需要两次访存，并且对高低字节的位置进行调整、连接之后才能得到所要的指令或数据，影响了指令的执行效率。
浮点数
浮点数的表示
普通浮点数格式
N = r E × M N=r^E\times M N=rE×M
-
基数 r r r
- 基数变大，表示范围越大，发生因为对阶或者尾数溢出或者规格化的次数显著减少，运算速度可以提高，但精度变低
-
尾数 M M M
-
阶码 E E E
IEEE754格式（以单精度为例）
( − 1 ) S × 1. M × E − 127 (-1)^{S} \times 1 . M \times^{E-127} (−1)S×1.M×E−127
符号位 S：1位
尾数M：23位（隐藏一位），原码表示
阶码 E：8位，移码表示，偏移值为127（阶码的范围是1~254），一些规定：
-
阶码全0，尾数全0，表示 0
-
阶码全1，尾数全0，表示无穷大（符号位为 0 表示正无穷，为 1 表示负无穷）
-
阶码全0，尾数不为0，表示非规格化数
-
阶码全1，尾数不为0，表示NaN（非数值）
规格化浮点数
-
尾数最高位必须是一个有效值
-
左规与右规
-
原码规格化
- 尾数最高位一定是1（IEEE754浮点数尾数隐藏了一位整数1，所以看起来好像IEEE754不满足规格化）
-
补码规格化
- 尾数最高位一定和符号位相反
浮点数的运算
对阶
先求阶差，然后小阶向大阶看齐
尾数求和
尾数相加
规格化
- 左规
- 右规
要分清楚“对阶”和“右规”，虽然“对阶”也是右移、阶码+1，也要考虑舍入。但它们是两种操作，对阶的右移往往会进行多次，而右规的右移一般只要一次（除非采用“0舍1入”导致再次溢出）
舍入
右规和对阶之后可能需要舍入
-
0舍1入法
- 右规可能需要多次
-
恒置1法
溢出判断
浮点运算中，运算结果超出尾数表示范围却不一定溢出，只有规格化后阶码超出所能表示的范围时，才发生溢出
-
阶码上溢：进入中断处理
-
阶码下溢：按机器0处理
-
溢出
整数运算在除数为0时会报错，而浮点数运算在除数为0时，不会报错，但会返回几个特殊值：
double d1 = 0.0 / 0; // NaN Not a Number double d2 = 1.0 / 0; // Infinity 无穷大 double d3 = -1.0 / 0; // -Infinity 负无穷大
一点问题
对于位数相同的定点数和浮点数，可表示的浮点数个数比定点数个数多吗？
一样多，可表示的数据个数取决于编码所采用的位数。编码位数一定，编码出来的数据个数就是一定的。n位编码只能表示2n个数，所以对于相同位数的定点数和浮点数来说，可表示的数据个数应该一样多（有时可能由于一个值有两个或多个编码对应，编码个数会有少量差异）。
一点探究
关于原码、补码、反码、移码
最开始学计组的时候，总以为是 原码->反码->补码 这个过程，今天看了唐朔飞的《计算机组成原理》，又查了英文才发现不该那么理解
| 原码 | True Form |
|---|---|
| 补码 | Complement |
| 反码 | radix-minus-one complement |
| base minus one’s complement |
反码的英文直译过来就是 “一个数的补码形式剪去1”，也就是说这个过程应该是 原码->补码->反码
Q1：补码是“补”的什么？
例如，时钟指示6点，想让它指示3点，那么我们可以顺时针转9圈，也可是逆时针转3圈，转换成数学语言就是
−
3
≡
+
9
(
m
o
d
12
)
-3\equiv +9\ (mod\ 12)
−3≡+9 (mod 12)
对于
m
o
d
12
\mod 12
mod12 而言，
−
3
-3
−3 和
9
9
9 互为补数。
这个思想转换到定点数的表示里，就是一个 n n n 为负数可以用它的正补数来代替
如下：
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
short a = -20;
unsigned short b = a;
cout << a + 65536 << endl;//两者是相同的
cout << b << endl;
}
自己的理解，所谓的有符号数，其实是用 [ 0 , 2 n − 1 − 1 ] [0,2^{n-1}-1] [0,2n−1−1] 来表示正数，用 [ 2 n − 1 , 2 n − 1 ] [2^{n-1},2^{n}-1] [2n−1,2n−1] 来表示负数，两个区间都是 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1 个数
根据教材补码的定义，换种说法：
对于任何 n 位有符号数
a
a
a ，如果
a
a
a 是负数，
[
2
n
−
1
,
2
n
−
1
]
[2^{n-1},2^n-1]
[2n−1,2n−1] 内一定存在一个数
b
b
b，使得
b
=
a
+
2
n
b=a+ 2^n
b=a+2n
此时 b b b 的原码就是 a a a 的补码形式。
Q2：为什么负数表示的范围比正数 “多一个” ？
还有一个问题，之前也会不理解，为什么负数表示的范围比正数 “多一个” 呢？
例如，int 类型最大值
2147483647
2147483647
2147483647，最小值
−
2147483648
-2147483648
−2147483648
**首先肯定不是多一个，正数区间包含 0 0 0，两个区间数的个数是一样多的。**之前看过一些解释，大概的意思如下
因为补码形式中 + 0 +0 +0 和 − 0 -0 −0 是相同的，为了不浪费，让 − 0 -0 −0 去表示 − 2 n -2^n −2n
其实也可以这么来看，比如八位有符号数的范围是 [ − 128 , 127 ] [-128,127] [−128,127] ，将 a = − 128 a=-128 a=−128 代入上面的式子 b = a + 2 n b=a+ 2^n b=a+2n， b b b 就是 2 7 2^7 27，那么就理所应当用 1000 0000 B 1000\ 0000B 1000 0000B ，也就是 − 0 -0 −0 去表示 − 2 n -2^n −2n
Q3：无符号数与有符号数如何运算？
无符号数与有符号数的运算，会把有符号数视为无符号数，然后进行运算
无符号数与正数运算，与无符号数和无符号数运算无异，除了正数的范围小了一点。
无符号数与负数运算，根据这个定义
对于任何 n 位有符号数 a a a ，如果 a a a 是负数， [ 2 n − 1 , 2 n − 1 ] [2^{n-1},2^n-1] [2n−1,2n−1] 内一定存在一个数 b b b，使得
b = a + 2 n b=a+ 2^n b=a+2n此时 b b b 的原码就是 a a a 的补码形式。
假设有一个无符号数为
A
A
A 和一个负数
a
a
a，现在做运算
A
+
a
A+a
A+a 运算，就等同于
A
A
A 和
a
a
a 的补数
b
b
b 相加，
m
o
d
2
n
\mod 2^n
mod2n 是因为结果可能大于
2
n
2^n
2n （无符号数对于超过最大值的处理方式是直接舍去高位，即运算结果
m
o
d
2
n
\mod 2^n
mod2n ）
A
+
a
≡
(
A
+
a
+
2
n
)
m
o
d
2
n
≡
(
A
+
b
)
m
o
d
2
n
A+a\equiv(A+a+2^n)\mod 2^n \equiv(A+b)\mod 2^n
A+a≡(A+a+2n)mod2n≡(A+b)mod2n
Tips1：相反数间补码关系
int x = 10;
int y = ~x + 1;//此时y是-10
对于任何一个数 x x x ，将 x x x 的补码连带符号位取反后 + 1 + 1 +1，是 − x -x −x 的补码。
这个对 0 0 0 也是成立的
Tips2：移补码转换技巧
书上定义对比（当移码常数取
2
n
2^n
2n 时）
[
x
]
补
=
x
(
x
≥
0
)
[
x
]
补
=
2
n
+
1
+
x
(
−
2
n
≤
x
<
0
)
[
x
]
移
=
2
n
+
x
(
−
2
n
≤
x
<
2
n
)
[x]_补= x\ (x \ge 0)\\ [x]_补= 2^{n+1}+x\ (-2^n\le x < 0)\\ [x]_移 =2^n+x\ (-2^n \le x< 2^n )
[x]补=x (x≥0)[x]补=2n+1+x (−2n≤x<0)[x]移=2n+x (−2n≤x<2n)
联立有
[
x
]
补
+
2
n
=
[
x
]
移
(
x
≥
0
)
[
x
]
补
=
2
n
+
[
x
]
移
(
−
2
n
≤
x
<
0
)
[x]_补+2^n= [x]_移\ (x \ge 0)\\ [x]_补= 2^{n}+[x]_移\ (-2^n\le x < 0)\\
[x]补+2n=[x]移 (x≥0)[x]补=2n+[x]移 (−2n≤x<0)
所以移码和补码的符号只差一个符号位。
Tips3：补原码转换技巧
原码到补码（补码到原码做法一模一样）
从右边往左边看，遇见第一个1前照抄，然后后面的除了符号位全部取反
比如：
原码：10001110
补码：11110010
Tips4：补码1的个数与大小关系
根据在Q1中的定义， b = a + 2 n b=a+ 2^n b=a+2n ，对于越小的负数 a a a ，得到的 b b b 也就越小， b b b 的 1 1 1 就越少
补码正数和负数在“1的个数”与“大小关系”上是一样的
正数：0000 （0）最小，0111 （15）最大
负数：1000 （-16）最小，1111 （-1）最大
-
模四补码（变形补码，双符号位）
- 更容易检测加减运算中的溢出问题
- 存储模四补码中需要一个符号位，只有在把两个模四补码的数送至ALU中完成加减、移位运算时，才需要双符号位，即只在ALU中才有双符号位这一说
- 高符号位代表真正的符号，低符号位参与运算来判断是否发生溢出
扫一扫
1271
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
