IEEE浮点数表示法

月初还在上班的时候，就天天盼望着过年放长假，然而终于熬到了过年，却发现自己的12天的长假将在碌碌无为中度过，朋友们又一个接一个的远去，心里真是拔凉拔凉的啊！最近版上的人气有点低落，连违规率（不敢说犯罪率哈，怕被人砍）都下降了不少，我想在春节这档子这是免不了的，论坛上应该有不上工作的朋友可能都回家团聚了。那像我这种无家可归的人除了眼馋别人的幸福，那就只有向仍然全力支持着我们C++/面向对象这个大家庭的兄弟姐妹们拜个年，祝来年薪水猛涨，职位高升，身体健康，家庭幸福！

最近一段时间看到版上关于C++里浮点变量精度的讨论比较多，那么我就给对这个问题有疑惑的人详细的讲解一下intel的处理器上是如何处理浮点数的。为了能更方便的讲解，我在这里只以float型为例，从存储结构和算法上来讲，double和float是一样的，不一样的地方仅仅是float是32位的，double是64位的，所以double能存储更高的精度。还要说的一点是文章和程序一样，兼容性是有一定范围的，所以你想要完全读懂本文，你最好对二进制、十进制、十六进制的转换有比较深入的了解，了解数据在内存中的存储结构，并且会使用VC.net编译简单的控制台程序。OK，下面我们开始。

大家都知道任何数据在内存中都是以二进制（1或着0）顺序存储的，每一个1或着0被称为1位，而在x86CPU上一个字节是8位。比如一个16位（2字节）的short int型变量的值是1156，那么它的二进制表达就是：00000100 10000100。由于Intel CPU的架构是Little Endian（请参数机算机原理相关知识），所以它是按字节倒序存储的，那么就因该是这样：10000100 00000100，这就是定点数1156在内存中的结构。

那么浮点数是如何存储的呢？目前已知的所有的C/C++编译器都是按照IEEE（国际电子电器工程师协会）制定的IEEE 浮点数表示法来进行运算的。这种结构是一种科学表示法，用符号（正或负）、指数和尾数来表示，底数被确定为2，也就是说是把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再加上符号。下面来看一下具体的float的规格：

float
共计32位，折合4字节
由最高到最低位分别是第31、30、29、……、0位
31位是符号位，1表示该数为负，0反之。
30-23位，一共8位是指数位。
22-0位，一共23位是尾数位。
每8位分为一组，分成4组，分别是A组、B组、C组、D组。
每一组是一个字节，在内存中逆序存储，即：DCBA

我们先不考虑逆序存储的问题，因为那样会把读者彻底搞晕，所以我先按照顺序的来讲，最后再把他们翻过来就行了。

现在让我们按照IEEE浮点数表示法，一步步的将float型浮点数12345.0f转换为十六进制代码。在处理这种不带小数的浮点数时，直接将整数部转化为二进制表示：1 11100010 01000000也可以这样表示：11110001001000000.0然后将小数点向左移，一直移到离最高位只有1位，就是最高位的1：1.11100010010000000一共移动了16位，在布耳运算中小数点每向左移一位就等于在以2为底的科学计算法表示中指数+1，所以原数就等于这样：1.11100010010000000 * ( 2 ^ 16 )好了，现在我们要的尾数和指数都出来了。显而易见，最高位永远是1，因为你不可能把买了16个鸡蛋说成是买了0016个鸡蛋吧？（呵呵，可别拿你买的臭鸡蛋甩我~），所以这个1我们还有必要保留他吗？（众：没有！）好的，我们删掉他。这样尾数的二进制就变成了：11100010010000000最后在尾数的后面补0，一直到补够23位：11100010010000000000000（MD，这些个0差点没把我数的背过气去~）

再回来看指数，一共8位，可以表示范围是0 - 255的无符号整数，也可以表示-128 - 127的有符号整数。但因为指数是可以为负的，所以为了统一把十进制的整数化为二进制时，都先加上127，在这里，我们的16加上127后就变成了143，二进制表示为：10001111
12345.0f这个数是正的，所以符号位是0，那么我们按照前面讲的格式把它拼起来：
0 10001111 11100010010000000000000
01000111 11110001 00100000 00000000
再转化为16进制为：47 F1 20 00，最后把它翻过来，就成了：00 20 F1 47。
现在你自己把54321.0f转为二进制表示，自己动手练一下！

有了上面的基础后，下面我再举一个带小数的例子来看一下为什么会出现精度问题。
按照IEEE浮点数表示法，将float型浮点数123.456f转换为十六进制代码。对于这种带小数的就需要把整数部和小数部分开处理。整数部直接化二进制：100100011。小数部的处理比较麻烦一些，也不太好讲，可能反着讲效果好一点，比如有一个十进制纯小数0.57826，那么5是十分位，位阶是1/10；7是百分位，位阶是1/100；8是千分位，位阶是1/1000……，这些位阶分母的关系是10^1、10^2、10^3……，现假设每一位的序列是{S1、S2、S3、……、Sn}，在这里就是5、7、8、2、6，而这个纯小数就可以这样表示：n = S1 * ( 1 / ( 10 ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( 10 ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( 10 ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( 10 ^ n ) )。把这个公式推广到b进制纯小数中就是这样：
n = S1 * ( 1 / ( b ^ 1 ) ) + S2 * ( 1 / ( b ^ 2 ) ) + S3 * ( 1 / ( b ^ 3 ) ) + …… + Sn * ( 1 / ( b ^ n ) )

天哪，可恶的数学，我怎么快成了数学老师了！没办法，为了广大编程爱好者的切身利益，喝口水继续！现在一个二进制纯小数比如0.100101011就应该比较好理解了，这个数的位阶序列就因该是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625……。乘以S序列中的1或着0算出每一项再相加就可以得出原数了。现在你的基础知识因该足够了，再回过头来看0.45这个十进制纯小数，化为该如何表示呢？现在你动手算一下，最好不要先看到答案，这样对你理解有好处。

 

 

 

 

 

 

我想你已经迫不及待的想要看答案了，因为你发现这跟本算不出来！来看一下步骤：1 / 2 ^1位（为了方便，下面仅用2的指数来表示位），0.456小于位阶值0.5故为0；2位，0.456大于位阶值0.25，该位为1，并将0.45减去0.25得0.206进下一位；3位，0.206大于位阶值0.125，该位为1，并将0.206减去0.125得0.081进下一位；4位，0.081大于0.0625，为1，并将0.081减去0.0625得0.0185进下一位；5位0.0185小于0.03125，为0……问题出来了，即使超过尾数的最大长度23位也除不尽！这就是著名的浮点数精度问题了。不过我在这里不是要给大家讲《数值计算》，用各种方法来提高计算精度，因为那太庞杂了，恐怕我讲上一年也理不清个头绪啊。我在这里就仅把浮点数表示法讲清楚便达到目的了。

OK，我们继续。嗯，刚说哪了？哦对对，那个数还没转完呢，反正最后一直求也求不尽，加上前面的整数部算够24位就行了：1111011.01110100101111001。某BC问：“不是23位吗？”我：“倒，不是说过了要把第一个1去掉吗？当然要加一位喽！”现在开始向左移小数点，大家和我一起移，众：“1、2、3……”好了，一共移了6位，6加上127得131（怎么跟教小学生似的？呵呵~），二进制表示为：10000101，符号位为……再……不说了，越说越啰嗦，大家自己看吧：
0  10000101  11101101110100101111001
42  F6  E9  79
79  E9  F6  42

下面再来讲如何将纯小数转化为十六进制。对于纯小数，比如0.0456，我们需要把他规格化，变为1.xxxx * （2 ^ n ）的型式，要求得纯小数X对应的n可用下面的公式：
n = int( 1 + log (2)X );

0.0456我们可以表示为1.4592乘以以2为底的-5次方的幂，即1.4592 * ( 2 ^ -5 )。转化为这样形式后，再按照上面第二个例子里的流程处理：
1. 01110101100011100010001
去掉第一个1
01110101100011100010001
-5 + 127 = 122
0  01111010  01110101100011100010001
最后：
11 C7 3A 3D

另外不得不提到的一点是0.0f对应的十六进制是00 00 00 00，记住就可以了。

最后贴一个可以分析并输出浮点数结构的函数源代码，有兴趣的自己看看吧：

// 输入4个字节的浮点数内存数据
void DecodeFloat( BYTE pByte[4] )
{
 printf( "原始（十进制）：%d  %d  %d  %d/n" , (int)pByte[0],
  (int)pByte[1], (int)pByte[2], (int)pByte[3] );
 printf( "翻转（十进制）：%d  %d  %d  %d/n" , (int)pByte[3],
  (int)pByte[2], (int)pByte[1], (int)pByte[0] );
 bitset<32> bitAll( *(ULONG*)pByte );
 string strBinary = bitAll.to_string, allocator >();
 strBinary.insert( 9, "  " );
 strBinary.insert( 1, "  " );
 cout << "二进制：" << strBinary.c_str() << endl;
 cout << "符号：" << ( bitAll[31] ? "-" : "+" ) << endl;
 bitset<32> bitTemp;
 bitTemp = bitAll;
 bitTemp <<= 1;
 LONG ulExponent = 0;
 for ( int i = 0; i < 8; i++ )
 {
  ulExponent |= ( bitTemp[ 31 - i ] << ( 7 - i ) );
 }
 ulExponent -= 127;
 cout << "指数（十进制）：" << ulExponent << endl;
 bitTemp = bitAll;
 bitTemp <<= 9;
 float fMantissa = 1.0f;
 for ( int i = 0; i < 23; i++ )
 {
  bool b = bitTemp[ 31 - i ];
  fMantissa += ( (float)bitTemp[ 31 - i ] / (float)( 2 << i ) );
 }
 cout << "尾数（十进制）："  << fMantissa << endl;
 float fPow;
 if ( ulExponent >= 0 )
 {
  fPow = (float)( 2 << ( ulExponent - 1 ) );
 }
 else
 {
  fPow = 1.0f / (float)( 2 << ( -1 - ulExponent ) );
 }
 cout << "运算结果：" << fMantissa * fPow << endl;
}

累死了，我才发现这篇文章虽然短，然而确是最难写的。上帝，我也不是机算机，然而为什么我满眼都只有1和0？看来我也快成了黑客帝国里的那个看通迅员了……希望大家能不辜负我的一翻辛苦，帮忙up吧！

                Creamdog 于
            春节前夕 2004年1月18 下午5点完工

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

另注：

非常感谢大家的支持！

很长时间以来，我一直想对于大家对这篇文章所提出的问题做一些回答。但总是出于时间和其它的问题而初提著又意冷，感到十分抱歉。

我没有看过IEEE对于浮点数表示的详细资料，对于这些转换方法是结合我多年工作经验和编程技术，加之潜心编写测试代码、调试内存所得出的。因此这篇文章里存在问题是必然的，但我的初衷是给大家讲清楚“计算机表示浮点数为什么会存在精度问题”，而具体的转换方法并没有深究，只是将一般的转换规律做了一些阐释，对特殊情况极少提及。

我在这里非常感谢对文章提出问题的Combative(力争上游)、 yaoxinyan()、sharkhuang(爱情和程序都读不懂)三位朋友，他们指出了一些文章中的错误，并让我了解到不少细节问题，这些对于我和所有阅读这篇文章的人都是非常有帮助的！

由于原文中出错的地方不在少数，有些问题还比较严重，但以我目前所掌握的资料还不足以将这些问题一一纠正，所以只能希望其它朋友在阅读时还需稍加留意，掌握大意即可，不必深究，以免对以后的程序设计的学习造成不良影响，抱歉！