Fibonacci 第 n 项及Fibonacci 前 n 项和

最新推荐文章于 2024-03-11 19:40:14 发布

candy_c

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分类专栏： c++

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/candy_c/article/details/85232434

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博客讨论了如何使用矩阵乘法和快速幂算法解决Fibonacci数列的第n项及前n项和的问题，避免了传统方法中数组无法存储大数的限制。通过将Fibonacci数列转化为矩阵形式，实现了高效的计算方法，降低了空间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这其实是两道题目，但是他们量都题目的思路是在是相像，而且炒鸡厉害。

Fibonacci 第 n 项

题目描述
大家都知道 Fibonacci 数列吧，f1=1,f2=1,f3=2,f=3…fn=fn-1+fn-2,
f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,…,fn=fn−1+fn−2。
现在问题很简单，输入 n 和 m，求 fn mod m

输入格式
输入 n,m。
输出格式
输出 fn mod m

样例输入
5 1000
样例输出
5

Fibonacci 前 n 项和

题目描述
大家都知道 Fibonacci 数列吧，f1=1,f2=1,f3=2,f=3…fn=fn-1+fn-2,
f1=1,f2=1,f3=2,f4=3,…,fn=fn−1+fn−2。
现在问题很简单，输入 n 和 m，求 {fn}的前n项sn mod m

输入格式
输入 n,m。
输出格式
输出 fn mod m

样例输入
5 1000
样例输出
12

这两个的数据都是很惊人，都是 $n<=2*10^{9}$
有木有一种恐怖袭击的来临，很显然我们不能用传统的思想来，因为数组根本存不下，~~要不然我写这个有什么意思~~ ！
所以这里就要用到矩阵乘法
切入正题，核核。首先是Fibonacci 第 n 项这道题，我们可以知道：

f[i]=1*f[i-1]+1*f[i-2]
f[i-1]=1*f[i-1]+0*f[i-2]

把他们看成一个矩阵，转换为
$\begin{pmatrix} f[i] \\ f[i-1] \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} f[i-1] \\ f[i-2] \end{pmatrix}$
因为

f[i]=1*f[i-1]+1*f[i-2]
f[i-1]=1*f[i-1]+0*f[i-2]

所以可以根据矩阵乘法（~~我默认你矩阵乘法懂了~~ ）得出刚刚的那个矩阵
接着我们又可以得到：

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