斐波那契数列的前N项和

我们知道斐波那契数列为
$$\{\begin{array}{ccc}{F}_1=1& & \\ F_2=1& & \\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}& & n>2\end{array}$$
那么如何求解他的前N项和呢
我们可以通过他的通项入手，斐波那契数列的通项为
$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right)$$
数列的递推公式求通项可以参考数列的递推公式求通项
有了通项后我们易知
$$S_n=\sum _{i=1}^n{F}_i=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^1+{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right)-\left({\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^1+{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^2+\cdots {\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right)\right)$$
由于这里就是两个等比数列所以可以用上等比数列求和公式
$$S_n=\sum _{i=1}^n{F}_i=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\left(1-{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)-\left(\frac{\frac{1-\sqrt{5}}{2}\left(1-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)\right)$$
$$=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2\left(1-{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right)}{\frac{1-\sqrt{5}}{2}\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)-\left(\frac{{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^2\left(1-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\right)}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)\right)$$
$$=\frac{1}{\sqrt{5}}\left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+2}-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^{n+2}\right)-\frac{1}{\sqrt{5}}\left({\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^2\right)$$
$$=F_{n+2}-F_2=F_{n+2}-1$$
所以也就是说
$$S_n=F_{n+2}-1$$
实际上大多数的数列递推公式的通项是由含有等比因子的，都可以尝试这样的方法来求解和