问题 C: 【例题3】Fibonacci前n项和

最新推荐文章于 2024-04-24 14:54:33 发布

AlanJobs

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分类专栏： ACM 文章标签：矩阵快速幂

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本文介绍了一种高效算法，用于求解Fibonacci数列的前n项和并取模m的问题。通过矩阵快速幂的方法，结合Fibonacci数列的特性，实现了对大规模数据的有效处理。

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问题 C: 【例题3】Fibonacci前n项和

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题目链接：http://acm.ocrosoft.com/problem.php?cid=1704&pid=2

题目描述

大家都知道Fibonacci数列吧，f[1]=1,f[2]=1,f[3]=2,f[4]=3...也就是f[n]=f[n-1]+f[n-2]。现在，问题很简单，输入n和m，求前n项和取模m。

输入

输入n和m

1<=n<=2 000 000 000

1<=m<=1 000 000 010

输出

输出前n项和取模m。

样例输入

5 1000

样例输出

思路：矩阵快速幂，加推导斐波那契数列的矩阵递推式，另外，我们知道菲波那切数列的前n项和等于菲波那切数列的第n-2项值-1

即：S(n)=F(n+2)-1

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

struct MUL

{

    ll m[3][3];

}ans, res;

MUL mul(MUL a, MUL b, int n, int mod)//矩阵乘法，定义结构体函数，传入结构体，返回结构体，这样比较方便

{

    MUL tmp;

    for (int i = 1; i <= n; i++)

    {

         for (int j = 1; j <= n; j++)

         {

             tmp.m[i][j] = 0;

         }

    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)

    {

         for (int j = 1; j <= n; j++)

         {

             for (int k = 1; k <= n; k++)

             {

                  tmp.m[i][j] += ((a.m[i][k] % mod) *(b.m[k][j] % mod)) % mod;

             }

         }

    }

    return tmp;

}

ll quickpower(int N, int n, int mod)//矩阵快速幂

{

    MUL C, res;//C是常数矩阵

    memset(res.m, 0, sizeof(res.m));

    C.m[1][1] = 1;

    C.m[1][2] = 1;

    C.m[2][1] = 1;

    C.m[2][2] = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++)res.m[i][i] = 1;//单位矩阵

    while (N)

    {

         if (N & 1)

             res = mul(res, C, n, mod);

         C = mul(C, C, n, mod);

         N = N >> 1;

    }

    return res.m[1][1];

}

int main()

{

    ll n, mod;

    cin >> n >> mod;

    cout << quickpower(n + 1, 2, mod) % mod - 1 << endl;//S(n)=F(n+2)-1

}