21、小域上的本原多项式研究

小域上的本原多项式研究

1. 引言

在有限域 $F_q$（$q$ 是素数 $p$ 的幂）中，对于正整数 $n$，本原多项式 $x^n + a_1x^{n - 1} + \cdots + a_n$ 的根是扩域 $F_{q^n}$ 的本原元，其乘法阶为 $q^n - 1$。在很多应用场景中，确保存在部分系数预先指定的本原多项式是很有价值的，例如指定多个系数为零。

已知在 $1\leq m\leq3$ 时，存在 $F_q$ 上次数为 $n$ 且前 $m$ 个系数 $a_1, \cdots, a_m$ 预先指定的本原多项式。当 $q$ 足够大（依赖于 $n$）时，最多可以指定前 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ 个系数。不过，传统方法在处理小域（即 $q$ 较小时）时效果不佳，尤其是在二进制域 $F_2$ 的重要情形下。

本文的目的是对 Fan - Han 方法进行简化阐述，并推导出即使在小域上也有效的无条件结果。关键在于应用 Winnie Li 对 Galois 环上多项式参数的混合特征和的估计以及筛法。主要结论如下：
- 定理 1 ：对于任意正整数 $n$ 和 $m\leq\frac{n}{4}$，存在本原二进制多项式 $f(x) = x^n + a_1x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1}x + 1\in F_2[x]$，其前 $m$ 个系数 $a_1, \cdots, a_m$ 或后 $m$ 个系数 $a_{n - m}, \cdots, a_{n - 1}$ 可以预先指定为 0 或 1。
- 定理 2 ：对于任意正整数 $n$ 和 $m\l