43、量子纠缠操作：从原理到协议实现

量子纠缠操作：从原理到协议实现

1. 纠缠稀释概述

在不考虑经典通信成本的情况下，纠缠稀释协议相对容易勾勒。若目标是从约 $nH(A) {\varphi}$ 个纠缠比特（ebits）创建 $n$ 份 $|\varphi\rangle {AB}$ 态，可按以下步骤操作：
- 爱丽丝在实验室制备 $n$ 份 $|\varphi\rangle_{AB}$ 态。
- 对 $B$ 系统进行舒马赫压缩，将其压缩至约 $nH(A) {\varphi}$ 个量子比特，且当 $n$ 足够大时，对态的干扰很小。
- 若爱丽丝和鲍勃共享约 $nH(A) {\varphi}$ 个 ebits，爱丽丝可将压缩后的量子比特传送给鲍勃，此过程需约 $n^2H(A)_{\varphi}$ 个经典比特。
- 鲍勃接收并解压缩量子比特，协议结束。

后续将介绍如何大幅降低经典通信成本，改进后的协议所需经典比特数与 $n$ 呈亚线性关系，在 $n$ 趋于无穷大时，经典通信速率趋近于零。

2. LOCC 与纠缠相对熵

在描述纠缠操作的信息处理任务前，需明确定义局部操作和经典通信（LOCC）。LOCC 信道由以下两种操作的有限组合构成：
1. 爱丽丝执行量子仪器操作，产生量子和经典输出。她将经典输出发送给鲍勃，鲍勃根据接收到的经典数据执行量子信道操作，对应信道形式为 $\sum_{x} F_{x}^{A} \otimes G_{x}^{B}$，其中 ${F_{x}^{A}}$ 是一组完全正映射，$\sum_{x} F_{x}^{A}$ 是量子信道，${G_{x}^{B}}$ 是一组量子信道。
2. 情况相反，鲍勃先执行仪器操作，将经典数据发送给爱丽丝，爱丽丝根据数据执行量子信道操作，信道形式与上述类似，仅 $A$ 和 $B$ 标签互换。

若信息度量相对于 LOCC 信道非递增，则称其为 LOCC 单调量。纠缠相对熵就是这样一种信息度量，定义如下：
设 $\rho_{AB} \in \mathcal{D}(\mathcal{H} {A} \otimes \mathcal{H} {B})$，$\rho_{AB}$ 的纠缠相对熵 $E_{R}(A; B) {\rho}$ 等于 $\rho {AB}$ 与最接近的可分态之间的“相对熵距离”，即 $E_{R}(A; B) {\rho} \equiv \min {\sigma_{AB} \in \text{SEP}(A:B)} D(\rho_{AB} | \sigma_{AB})$。

纠缠相对熵是 LOCC 单调量，这可由相对熵关于信道的单调性以及 LOCC 信道将可分态映射为可分态这一事实得出。具体证明过程如下：
对于任意可分态 $\sigma_{AB}$ 和 LOCC 信道 $\Lambda_{AB \to A’B’}$，有 $D(\rho_{AB} | \sigma_{AB}) \geq D(\Lambda_{AB \to A’B’}(\rho_{AB}) | \Lambda_{AB \to A’B’}(\sigma_{AB})) \geq E_{R}(A’; B’) {\Lambda(\rho)}$。由于该不等式对所有 $\sigma {AB} \in \text{SEP}(A : B)$ 都成立，所以 $E_{R}(A; B) {\rho} \geq E {R}(A’; B’)_{\Lambda(\rho)}$，即纠缠相对熵是 LOCC 单调量。

纠缠相对熵还有另外两个重要性质：
- 性质 1 ：对于 $\rho_{AB} \in \mathcal{D}(\mathcal{H} {A} \otimes \mathcal{H} {B})$，纠缠相对熵不小于相干信息，即 $E_{R}(A; B) {\rho} \geq \max{I(A\rangle B) {\rho}, I(B\rangle A) {\rho}}$。
- 性质 2 ：对于纯二部态 $|\psi\rangle {AB} \in \mathcal{H} {A} \otimes \mathcal{H} {B}$，纠缠相对熵等于纠缠熵，即 $H(A) {\psi} = E {R}(A; B)_{\psi}$。

3. 纠缠操作任务

定义一个 $(n, m/n, \varepsilon)$ 纠缠操作协议：爱丽丝和鲍勃从 $n$ 份纯二部纠缠态 $|\psi\rangle_{AB}$ 开始，执行 LOCC 信道 $\Lambda^{(n)} {A^{n}B^{n} \to A^{m}B^{m}}$，尝试将原始态 $(|\psi\rangle {AB})^{\otimes n}$ 转换为 $m$ 份另一个二部纯态 $|\varphi\rangle_{AB}$。设操作后的态为 $\omega_{A^{m}B^{m}} \equiv \Lambda^{(n)} {A^{n}B^{n} \to A^{m}B^{m}}(\psi^{\otimes n} {AB})$，若最终态 $\omega_{A^{m}B^{m}}$ 与 $\varphi^{\otimes m} {AB}$ 的迹距离 $\frac{1}{2} |\omega {A^{m}B^{m}} - \varphi^{\otimes m} {AB}| {1} \leq \varepsilon$，则称该协议的误差为 $\varepsilon$，纠缠转换速率为 $m/n$。

若对于所有 $\varepsilon \in (0, 1)$、$\delta > 0$ 以及足够大的 $n$，都存在 $(n, E - \delta, \varepsilon)$ 纠缠操作协议，则称纠缠操作的特定速率 $E$ 是可实现的。从 $|\psi\rangle_{AB}$ 到 $|\varphi\rangle_{AB}$ 的纠缠操作极限 $E(\psi \to \varphi)$ 等于所有可实现速率的上确界。

4. 纠缠操作定理

纠缠操作定理表明，对于纯二部态 $|\psi\rangle_{AB}$ 和 $|\varphi\rangle_{AB}$，从 $|\psi\rangle_{AB}$ 到 $|\varphi\rangle_{AB}$ 的纠缠操作极限等于 $H(A) {\psi} / H(A) {\varphi}$，即 $E(\psi \to \varphi) = \frac{H(A) {\psi}}{H(A) {\varphi}}$。这意味着纠缠浓缩和稀释协议各自都是最优的。

4.1 逆定理证明

为证明纠缠操作极限不超过 $H(A) {\psi} / H(A) {\varphi}$，假设存在一系列 LOCC 变换 ${\Lambda^{(n)}}$，将 $n$ 份 $|\psi\rangle_{AB}$ 态转换为 $m_{n}$ 份近似的 $|\varphi\rangle_{AB}$ 态，即 $\frac{1}{2} |\Lambda^{(n)}(\psi^{\otimes n} {AB}) - \varphi^{\otimes m {n}} {AB}| {1} \leq \varepsilon$。

利用纠缠相对熵来限制速率 $m_{n} / n$，具体推导如下：
- $nH(A) {\psi} = H(A^{n}) {\psi^{\otimes n}} = E_{R}(A^{n}; B^{n}) {\psi^{\otimes n}} \geq E {R}(A^{m_{n}}; B^{m_{n}}) {\omega} \geq I(A^{m {n}}\rangle B^{m_{n}}) {\omega} \geq I(A^{m {n}}\rangle B^{m_{n}}) {\varphi^{\otimes m {n}}} - f(m_{n}, \varepsilon) = H(A^{m_{n}}) {\varphi^{\otimes m {n}}} - f(m_{n}, \varepsilon) = m_{n}H(A) {\varphi} - f(m {n}, \varepsilon)$。
- 其中，$f(m_{n}, \varepsilon) \equiv 2\varepsilon m_{n} \log \dim(\mathcal{H} {A}) + (1 + \varepsilon) h {2}(\varepsilon / [1 + \varepsilon])$。
- 综合可得 $\frac{m_{n}}{n} (1 - \frac{2\varepsilon \log \dim(\mathcal{H} {A})}{H(A) {\varphi}}) \leq \frac{H(A) {\psi}}{H(A) {\varphi}} + \frac{(1 + \varepsilon) h_{2}(\varepsilon / [1 + \varepsilon])}{nH(A) {\varphi}}$。
- 当 $n \to \infty$ 且 $\varepsilon \to 0$ 时，任何可实现的纠缠操作速率 $E$ 都满足 $E \leq \frac{H(A) {\psi}}{H(A)_{\varphi}}$。

4.2 直接编码定理

直接编码定理分为纠缠浓缩和纠缠稀释两部分。

随机浓缩
在随机浓缩协议中，目标是从给定分布中提取尽可能多的近似均匀随机比特。假设序列 $x^{n}$ 按独立同分布 $p_{X^{n}}(x^{n}) \equiv \prod_{i = 1}^{n} p_{X}(x_{i})$ 生成。爱丽丝执行映射 $x^{n} \to (t(x^{n}), f_{t}(x^{n}))$，其中 $t(x^{n})$ 是序列的类型（经验分布），$f_{t}(x^{n})$ 是给定类型类 $T_{X^{n}}^{t}$ 中符号排序的索引，该映射可逆。

例如，三位序列的映射如下：
| 序列 | 映射结果 |
| ---- | ---- |
| 000 | (0, 0) |
| 001 | (1, 0) |
| 010 | (1, 1) |
| 011 | (2, 0) |
| 100 | (1, 2) |
| 101 | (2, 1) |
| 110 | (2, 2) |
| 111 | (3, 0) |

该映射可将序列分布“重塑”，使得条件概率分布 $p_{f_{t}(X^{n})|t(X^{n})}$ 均匀。但此方法存在问题：部分类型类过小，产生的随机比特少；随机比特数量因类型而异。

为解决这些问题，需进行预处理，仅当 $x^{n}$ 是强典型序列时才继续操作，否则宣告失败。预处理保证每个强典型类型类的大小有界：$2^{n[H(X) - \eta(|X|\delta) - |X| \frac{1}{n} \log(n + 1)]} \leq |T_{X^{n}}^{t}| \leq 2^{n[H(X) + c\delta]}$。

接着，通过哈希函数将每个典型类型类哈希到大小为 $2^{n[H(X) - \eta(|X|\delta) - |X| \frac{1}{n} \log(n + 1)] - n\delta}$ 的集合，虽集合大小指数级下降，但随机浓缩速率仅损失 $\delta$。最终，协议结束时可得到 $n[H(X) - \eta(|X| \delta) - |X| \frac{1}{n} \log(n + 1) - \delta]$ 个近似均匀随机比特，当 $n \to \infty$ 时，随机浓缩速率为每个源符号 $H(X)$ 个均匀随机比特。

哈希引理保证了可将大集合上的均匀随机变量哈希到小集合上，具体如下：
设 $k$ 和 $l$ 为正整数，$k \geq l$。设 $W_{k}$ 在 ${1, \ldots, k}$ 上均匀分布，$W_{l}$ 在 ${1, \ldots, l}$ 上均匀分布，$W_{r}$ 在 ${1, \ldots, r = \lceil k / l \rceil}$ 上均匀分布，则存在一对一函数 $g : {1, \ldots, k} \to {1, \cdots, l} \times {1, \ldots, r}$，使得 $\frac{1}{2} |p_{W_{l}} \times p_{W_{r}} - p_{g(W_{k})}|_{1} \leq \frac{l}{k}$。

完整的随机浓缩协议流程如下：
1. 序列 $x^{n}$ 按 $p_{X^{n}}(x^{n})$ 随机生成。
2. 爱丽丝判断其是否为强典型序列，若不是则宣告协议失败。
3. 定义随机变量 $\tilde{X}^{n}$，其分布为 $p_{\tilde{H} {X^{n}}}(x^{n}) = \begin{cases} \frac{p {X^{n}}(x^{n})}{\sum_{x^{n} \in T_{X^{n}}^{\delta}} p_{X^{n}}(x^{n})} & \text{若 } x^{n} \in T_{X^{n}}^{\delta} \ 0 & \text{否则} \end{cases}$。
4. 设置速率 $R = H(X) - \eta(|X| \delta) - |X| \frac{1}{n} \log(n + 1) - \delta$。
5. 若 $x^{n}$ 是强典型序列，爱丽丝应用一对一映射 $x^{n} \to (t(x^{n}), g_{t}(f_{t}(x^{n})))$。
6. 丢弃包含类型 $t$ 的寄存器和 $W_{rem}$ 寄存器，最终得到近似均匀随机比特。

graph TD;
    A[生成序列 x^n] --> B{是否强典型序列};
    B -- 是 --> C[应用映射 x^n -> (t(x^n), gt(ft(x^n)))];
    B -- 否 --> D[宣告协议失败];
    C --> E[丢弃类型和 Wrem 寄存器];
    E --> F[得到近似均匀随机比特];

纠缠浓缩
在纠缠浓缩中，爱丽丝和鲍勃从 $n$ 份 $|\psi\rangle_{AB}$ 态开始。假设 $|\psi\rangle_{AB}$ 有施密特分解 $|\psi\rangle_{AB} = \sum_{x \in X} \sqrt{p_{X}(x)} |x\rangle_{A} |x\rangle_{B}$，则 $|\psi\rangle_{AB}^{\otimes n} = \sum_{x^{n} \in X^{n}} \sqrt{p_{X^{n}}(x^{n})} |x^{n}\rangle_{A^{n}} |x^{n}\rangle_{B^{n}}$。

为将该态转换为尽可能多的 ebits，需找到爱丽丝和鲍勃可执行的局部量子信道。首先给出引理：若概率分布 $p_{X}$ 和 $q_{X}$ 满足 $|p_{X} - q_{X}| {1} \leq \varepsilon$，则态 $|\psi {p}\rangle_{AB} \equiv \sum_{x} \sqrt{p_{X}(x)} |x\rangle_{A} |x\rangle_{B}$ 和 $|\psi_{q}\rangle_{AB} \equiv \sum_{x} \sqrt{q_{X}(x)} |x\rangle_{A} |x\rangle_{B}$ 满足 $|\psi_{p}^{AB} - \psi_{q}^{AB}|_{1} \leq 2\sqrt{\varepsilon}$。

爱丽丝的编码量子信道为 $E_{A^{n} \to T W_{out} W_{rem}}(Y_{A^{n}}) \equiv U \Pi_{\delta}^{A^{n}} Y_{A^{n}} \Pi_{\delta}^{A^{n}} U^{\dagger} + \text{Tr}{(I_{A^{n}} - \Pi_{\delta}^{A^{n}}) Y_{A^{n}}} \sigma_{T W_{out} W_{rem}}$，其中 $U_{A^{n} \to T W_{out} W_{rem}} \equiv \sum_{x^{n} \in T_{X^{n}}^{\delta}} |t(x^{n}), g_{t}(f_{t}(x^{n}))\rangle_{T W_{out} W_{rem}} \langle x^{n}| {A^{n}}$，$\Pi {\delta}^{A^{n}}$ 是态 $\sum_{x \in X} p_{X}(x) |x\rangle \langle x|_{A}$ 的强典型投影算符。

通过一系列操作和不等式推导，最终爱丽丝和鲍勃丢弃寄存器 $T_{A} T_{B} W_{A}’ W_{B}’$，得到近似 $nR$ 个 ebits，ebit 生成速率为 $R = H(A)_{\psi} - \eta(|X| \delta) - |X| \frac{1}{n} \log(n + 1) - \delta$，且无需经典通信。

量子纠缠操作：从原理到协议实现

5. 纠缠稀释

之前已简要介绍过纠缠稀释协议，但该协议所需的经典通信量远超实际必要量。下面将展示，随着 $n$ 增大，纠缠稀释所需的经典通信速率趋近于零，这表明纯态纠缠的资源理论是真正的可逆理论，因为经典通信速率可忽略不计，只需关注纠缠转换速率。

纠缠稀释协议的主要思路是将上一节的纠缠浓缩协议“反向运行”，系统标签保持不变。初始时，爱丽丝和鲍勃共享如下最大纠缠态：
$\Phi_{T_{A}W_{A}’T_{B}W_{B}’} \otimes (\Phi_{AB}^{+})^{\otimes nR}$

其中：
- $\log \dim(\mathcal{H} {T {A}}) = |X| \log n$
- $\log \dim(\mathcal{H} {W {A}’}) = n(1 + c)\delta + n\eta(|X| \delta) + |X| \log n$

这意味着 $\Phi_{T_{A}W_{A}’T_{B}W_{B}’}$ 态中的总纠缠比特数为 $n(1 + c)\delta + n\eta(|X| \delta) + 2 |X| \log n$，他们共享的总纠缠比特数为 $nH(A)_{\psi} + nc\delta + |X| \log n$。

具体操作步骤如下：
1. 爱丽丝在本地实验室制备态 $\Upsilon_{T_{A}W_{A}’T_{B}W_{B}’}$，并利用态 $\Phi_{T_{A}W_{A}’T_{B}W_{B}’}$ 将 $\Upsilon$ 的 $T_{B}W_{B}’$ 系统传送给鲍勃，此过程需要 $2 [n(1 + c)\delta + n\eta(|X| \delta) + 2 |X| \log n]$ 比特的经典通信。
2. 此时，爱丽丝和鲍勃共享态 $\Upsilon_{T_{A}W_{A}’T_{B}W_{B}’} \otimes (\Phi_{AB}^{+})^{\otimes nR}$。
3. 他们各自执行如下量子信道，该信道本质上是上一节编码的“逆操作”：
$E^{(-1)}(Z) = U^{\dagger} Z U + \text{Tr}{(I - U U^{\dagger}) Z} \omega$
其中，$U$ 是上一节定义的等距变换，$\omega$ 是任何在 $\text{span}{|x^{n}\rangle : x^{n} \in T_{X^{n}}^{\delta}}$ 中有支撑的态。

由于 $|\tilde{\psi}^{n}\rangle_{A^{n}B^{n}}$ 仅在 $\text{span}{|x^{n}\rangle : x^{n} \in T_{X^{n}}^{\delta}}$ 中有支撑，所以有：
$(E^{(-1)} {A^{n}} \otimes E^{(-1)} {B^{n}})(E_{A^{n}} \otimes E_{B^{n}})(|\tilde{\psi}^{n}\rangle_{A^{n}B^{n}}) = |\tilde{\psi}^{n}\rangle_{A^{n}B^{n}}$

结合上一节的不等式，可得：
$|\ |\tilde{\psi}^{n}\rangle_{A^{n}B^{n}} - (E^{(-1)} {A^{n}} \otimes E^{(-1)} {B^{n}}) \left( \Upsilon_{T_{A}W_{A}’T_{B}W_{B}’} \otimes (\Phi_{AB}^{+})^{\otimes nR} \right) |_{1} \leq 2 \left( \sqrt{\varepsilon} + \sqrt{2} \cdot 2^{-n\delta} \right)$

综合纠缠浓缩中的不等式，最终得到：
$|\ \psi_{AB}^{\otimes n} - (E^{(-1)} {A^{n}} \otimes E^{(-1)} {B^{n}}) \left( \Upsilon_{T_{A}W_{A}’T_{B}W_{B}’} \otimes (\Phi_{AB}^{+})^{\otimes nR} \right) |_{1} \leq 2 \left( \sqrt{\varepsilon} + \sqrt{2} \cdot 2^{-n\delta} \right)$

形成 $\psi_{AB}^{\otimes n}$ 所需的纠缠比特速率为 $H(A) {\psi} + c\delta + \frac{|X|}{n} \log n$ 个纠缠比特/每份 $\psi {AB}$，经典通信速率为 $2[(1 + c)\delta + \eta(|X| \delta) + 2 |X| \frac{1}{n} \log n]$ 个经典比特/每份 $\psi_{AB}$。当 $n$ 很大时，取 $\delta$ 为 $\sqrt{n}$ 量级，根据中心极限定理，可实现任意常数误差 $\varepsilon \in (0, 1)$。同时，纠缠比特速率收敛于 $H(A)_{\psi}$，经典通信速率趋近于零。

graph TD;
    A[共享最大纠缠态] --> B[爱丽丝制备态并传送系统];
    B --> C[共享中间态];
    C --> D[执行逆操作信道];
    D --> E[得到近似目标态];

6. 通用纠缠操作策略

将纠缠浓缩和稀释结合起来，可得到一个通用的纠缠操作协议策略。目标是将 $n$ 份 $\psi_{AB}$ 态尽可能多地转换为 $\varphi_{AB}$ 态。具体步骤如下：
1. 纠缠浓缩 ：爱丽丝和鲍勃先执行纠缠浓缩协议，将 $n$ 份 $\psi_{AB}$ 态转换为尽可能多的纠缠比特。
2. 纠缠稀释 ：利用得到的纠缠比特，通过纠缠稀释协议生成尽可能多的 $\varphi_{AB}$ 态。

通过这种方式，可实现从 $\psi_{AB}$ 到 $\varphi_{AB}$ 的高效纠缠转换。

总结

本文详细介绍了量子纠缠操作的相关理论和协议，包括纠缠稀释、LOCC 与纠缠相对熵、纠缠操作任务、纠缠操作定理以及具体的纠缠浓缩和稀释协议。主要内容总结如下：
| 主题 | 关键内容 |
| ---- | ---- |
| 纠缠稀释 | 初始协议需大量经典通信，改进后经典通信速率随 $n$ 增大趋近于零，实现真正的可逆性。 |
| LOCC 与纠缠相对熵 | LOCC 信道由特定组合构成，纠缠相对熵是 LOCC 单调量，具有不小于相干信息和等于纯态纠缠熵等性质。 |
| 纠缠操作任务 | 定义了 $(n, m/n, \varepsilon)$ 纠缠操作协议，明确了纠缠转换速率和误差的概念。 |
| 纠缠操作定理 | 从 $\psi_{AB}$ 到 $\varphi_{AB}$ 的纠缠操作极限为 $H(A) {\psi} / H(A) {\varphi}$，证明分为逆定理和直接编码定理两部分。 |
| 纠缠浓缩 | 通过随机浓缩和特定编码，将 $n$ 份 $\psi_{AB}$ 态转换为尽可能多的纠缠比特，无需经典通信。 |
| 纠缠稀释 | 将纠缠浓缩协议反向运行，所需经典通信速率随 $n$ 增大趋近于零。 |

这些理论和协议为量子信息处理中的纠缠资源利用提供了重要的基础和方法，有助于实现更高效的量子通信和计算。未来，随着量子技术的不断发展，这些方法有望在实际应用中发挥更大的作用。