39、量子编码中的填充引理与覆盖引理

量子编码中的填充引理与覆盖引理

1. 填充引理

填充引理主要用于解决如何让消息变得可区分的问题，其在量子编码领域有着重要的应用。

1.1 填充引理的不等式推导

在填充引理的推导中，涉及到一系列不等式：
- ( \frac{1}{D} \text{Tr} \left{ \mathbb{E} {C {m}’} {\Pi_{C_{m}’}} \Pi \right} \leq \frac{1}{D} \text{Tr} \left{ \mathbb{E} {C {m}’} {\Pi_{C_{m}’}} \right} )（式16.62）
- ( = \frac{1}{\mathbb{D}} \mathbb{E} {C {m}’} \left{ \text{Tr} {\Pi_{C_{m}’} } \right} )（式16.63）
- ( \leq \frac{d}{D} )（式16.64）

第一个不等式成立是因为 ( \Pi \leq I ) 且 ( \Pi_{C_{m}’} ) 是半正定算子，最后一个不等式由式16.13得出。通过从式16.56到式16.64的推导，可得：
( \mathbb{E} {C} \left{ \text{Tr} \left{ \Upsilon {C_{m}’} \sigma_{C_{m}} \right} \right} \leq \frac{d}{D} )（式16.65）

将其代入式16.55，可证明所有码的平均错误概率 ( \overline{p} {e}(C) ) 的期望