13、量子假设检验与判别：理论证明与历史发展

量子假设检验与判别：理论证明与历史发展

1. Stein引理直接部分及Hoeffding界证明

在相关证明中，通过严格不等式的推导以及极限的运用，得到了重要的结果。首先，根据(\max_{s\in(0,1)}(1 - s)(R + \epsilon) - \varphi(s|P\parallel Q))在(s > 0)时取到最大值这一事实，结合(\min{A, B} < A)则(\min{A, B} = B)的性质，有：
(\lim_{n\rightarrow\infty}-\frac{1}{n}\log\mathrm{Tr}\sigma^{\otimes n}{e^{-nR}\rho^{\otimes n} > \sigma^{\otimes n}} \leq \max_{s\in(0,1)}(1 - s)(R + \epsilon) - \varphi(s|P\parallel Q))
令(\epsilon \rightarrow 0)，可得到相应结果。反之，假设某不等式成立，经过一系列替换和推导，最终也能得到所需结论。

这里还给出了一个练习题：
- 证明对于(s_0 \in (0, 1))，(\max_{s\in[0,1]} - sRs_0 - \varphi(s) = - s_0Rs_0 - \varphi(s_0))，可利用(\varphi(s))是凸函数这一性质。

2. 信息不等式及Stein引理逆部分和Han - Kobayashi界证明

2.1 Lemma 3.7证明

将不等式(3.20)应用于二值POVM({T_n, I - T_n})，得到：
((\mat