10、噪声量子理论：从测量到复合系统的全面解析

噪声量子理论：从测量到复合系统的全面解析

1. 噪声量子理论中的基本概念

在噪声量子理论里，投影算子的对易性有着重要意义。若两个投影算子对易，那么它们作用的顺序就无关紧要，得到的算子便是投影到两个子空间交集上的投影算子。然而在实际例子中，情况并非总是如此，不同顺序作用得到的算子差异显著。

1.1 投影算子的联合界证明

有一个关于对易投影算子 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 的联合界问题，其中 $0 \leq \Pi_1, \Pi_2 \leq I$，对于任意密度算子 $\rho$（不一定与 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 在相同基下对角化），需要证明：
$$Tr {(I - \Pi_1\Pi_2) \rho} \leq Tr {(I - \Pi_1) \rho} + Tr {(I - \Pi_2) \rho}$$

2. 噪声量子理论中的测量

2.1 测量的两种描述方式

量子理论中的测量可以用一组构成单位分解的投影算子来描述。例如，满足 $\sum_{j} \Pi_j = I$ 的投影算子集合 ${\Pi_j}_j$ 能构成一个有效的投影量子测量。

还有一种替代描述方式，即让感兴趣的系统与一个探测系统进行幺正相互作用，之后对探测系统进行测量。假设感兴趣的系统处于状态 $|\psi\rangle_S$，探测系统处于状态 $|0\rangle_P$，那么初始的整体状态为：
$$|\psi\rangle_S \otimes |0\rangle_P$$

设 ${|0\rangle_P, |1\rangle_P, \cdots, |d - 1\rangl