32、加权图上的随机游走、马尔可夫链与蒙特卡罗方法

加权图上的随机游走、马尔可夫链与蒙特卡罗方法

1. 加权图上的随机游走

在加权图的随机游走中，转移概率与权重之和成正比。若顶点 $i$ 和 $j$ 相邻，用 $w(i, j)$ 表示连接 $i$ 和 $j$ 的边的权重，$w(i)=\sum_{i\sim j} w(i, j)$ 表示连接 $i$ 与其所有相邻顶点的边的权重之和。随机游走的转移概率和转移矩阵定义如下：
[T_{ij} = P(X_1 = j|X_0 = i) =
\begin{cases}
w(i, j)/w(i), & \text{if } i \sim j \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}]

例如，对于加权青蛙图，当 $w(a) = 2$，$w(b) = w(c) = 5$，$w(d) = 6$ 时，转移矩阵为
[T =
\begin{pmatrix}
a & b & c & d \
a & 0 & 1 & 0 & 0 \
b & 2/5 & 0 & 1/5 & 2/5 \
c & 0 & 1/5 & 0 & 4/5 \
d & 0 & 1/3 & 0 & 2/3
\end{pmatrix}]

若在每个顶点添加权重为 1 的环，则 $w(a) = 3$，$w(b) = w(c) = 6$，$w(d) = 7$，新的转移矩阵为
[T =
\begin{pmatri