【lightoj1028】求因子个数

本文介绍了一种基于质数分解的方法来计算特定整数的欧拉函数变形,通过编程实现并给出了样例输入输出。该算法适用于计算某个整数在不同基数下至少有一个尾随零的数量。

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Input

Input starts with an integer T (≤ 10000), denoting the number of test cases.

Each case contains an integer N (1 ≤ N ≤ 1012).

Output

For each case, print the case number and the number of possible bases where N contains at least one trailing zero.

Sample Input

3
9
5
2
Sample Output
Case 1: 2
Case 2: 1
Case 3: 1
——————————————————————

思路:
欧拉函数的变形.任何数x=a1^b1*a2^b2*…(b1 b2…是质数)
不含1的因子数为(b1+1)*(b2+1)*….-1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N = 1e6;
bool p[N+5];
LL prime[N+5];
LL k=0;
void init()
{
    LL i,j;
    for(i=2; i<=N; i++)
    {
        if(p[i]==0)
        {
            prime[++k]=i;
            for(j=i*i; j<=N; j+=i)
                p[j]=1;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    LL t,i,j;
    cin>>t;
    for(j=1; j<=t; j++)
    {
        LL n,ans=1;
        scanf("%lld",&n);
        for(i=1; i<=k&&prime[i]*prime[i]<=n; i++)
        {
            if(n%prime[i]==0)
            {
                LL num=0;
                while(n%prime[i]==0)
                {
                    n=n/prime[i];
                    num++;
                }
                ans=ans*(num+1);
            }
        }
        if(n!=1) ans*=2;//n不是1就一定是质数,指数为1
        printf("Case %lld: %lld\n",j,ans-1);
    }
    return 0;
}
Sigma函数是指一个数字的所有因子之和。给定一个数字n,需要出有多少个数字的Sigma函数是偶数。\[2\] 为了解决这个问题,可以先筛选出n范围内的素数(范围在10^6即可),然后对n进行素因子分解。对于每个因子,如果它的Sigma函数中连乘的每一项都是偶数,那么整个Sigma函数就是偶数。具体实现中,可以判断每个因子的平方根是否为偶数,如果是偶数,则减去(平方根+1)/2。\[1\] 另外,还可以使用O(1)的做法来解决这个问题。根据观察,所有的完全平方数及其两倍的值都会导致Sigma函数为偶数。因此,可以直接计算n的平方根,然后减去(平方根+1)/2即可得到结果。\[3\] #### 引用[.reference_title] - *1* [Sigma Function](https://blog.youkuaiyun.com/PNAN222/article/details/50938232)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item] - *2* *3* [【LightOJ1336】Sigma Function(数论)](https://blog.youkuaiyun.com/qq_30974369/article/details/79009498)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item] [ .reference_list ]
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