AcWing 126.最大的和

给定一个包含整数的二维矩阵，子矩形是位于整个阵列内的任何大小为 1×11×1 或更大的连续子阵列。

矩形的总和是该矩形中所有元素的总和。

在这个问题中，具有最大和的子矩形被称为最大子矩形。

例如，下列数组：

0 -2 -7 0 
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2 

其最大子矩形为：

9 2 
-4 1 
-1 8 

它拥有最大和 1515。

输入格式

输入中将包含一个 N×NN×N 的整数数组。

第一行只输入一个整数 NN，表示方形二维数组的大小。

从第二行开始，输入由空格和换行符隔开的 N2N2 个整数，它们即为二维数组中的 N2N2 个元素，输入顺序从二维数组的第一行开始向下逐行输入，同一行数据从左向右逐个输入。

数组中的数字会保持在 [−127,127][−127,127] 的范围内。

输出格式

输出一个整数，代表最大子矩形的总和。

数据范围

1≤N≤1001≤N≤100

输入样例：

4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 -1

8  0 -2

输出样例：

15

 题解

首先，这道题要求的是一个矩形的最大值，我们可能先想到二维和，但是，如果我们直接用二维前缀和暴力枚举，可能会超时，为什么？

这个矩阵式随机的一片区域，用普通二维前缀和，我们就要知道左上角和右下角，求最大的，我们免不了要把每个左上角和右下角列出来，就要用4个嵌套循环，那么时间复杂度是n^4,可能超时

那么，优化的二维前缀和来了。

我们只需要每列的前缀和，也就是g[i][j]+=g[i-1][j];

如何用它来求最大的呢？

 for(int i=1;i<=n;i++)   
    for(int j=i;j<=n;j++)

这个是上下边界，也可理解位每行，第i行和第j行，我们不管它们之间有几行，直接压缩成一个一维，那么每列的前缀和的作用也就有了。

然后就是

for(int k=1;k<=n;k++)
        {
            last=max(last,0)+g[j][k]-g[i-1][k];
            ans=max(ans,last);
        }

我们压缩成一维后，这里的k也就第k个数的意思。为什么可以这样做？

a1 a2 a3 a4  a5  a6  a7

我们以a6位结尾的最大和是last

假设a7大于0

如果last<=0,那么以a7为结尾的最大就是a7

相反的，如果last>0,那么以a7为结尾的最大就是last+a7。

#include <iostream>
#include <climits>
#include <algorithm>
using namespace std;

int g[110][110];

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
        scanf("%d",&g[i][j]);
        g[i][j]+=g[i-1][j];
    }
    
    //这里的i和j不是几行几列，而是上下边界
    int ans=INT_MIN;
    for(int i=1;i<=n;i++)   
    for(int j=i;j<=n;j++)
    {
        int last=0;
        for(int k=1;k<=n;k++)
        {
            last=max(last,0)+g[j][k]-g[i-1][k];
            ans=max(ans,last);
        }
    }
    
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}