4、数学基础：对数、求和与相关定理解析

数学基础：对数、求和与相关定理解析

1. 对数与循环不变量

在循环执行过程中，我们可以通过分析变量之间的关系来确定循环执行的次数。例如，有如下循环代码：

int k;
for (k = 1; p <= n; p *= 2) 
{
    cout << k << endl;
    ++k;
}

当循环体执行时， k 的初始值 1 被输出，然后 k 递增到 2， p 的值翻倍为 4（即 $2^2$），接着检查循环控制条件 p <= n 。如果条件为真， k 的值 2 被输出， k 递增到 3， p 翻倍为 8（即 $2^3$），再次检查循环控制条件。当 k 达到值 L 时，变量 p 将得到值 $2^L$，此时循环控制条件最后一次为真。 L 被输出， k 递增到 L + 1 ， p 翻倍为 $2^{L + 1}$，循环条件变为假。由此可得不等式：$2^L \leq n < 2^{L + 1}$。
对不等式各部分取以 2 为底的对数，得到：$L \leq \lg(n) < L + 1$。根据相关定理可知，$L = \lfloor\lg(n)\