7、数学知识：从均值定理到中心极限定理

数学知识：从均值定理到中心极限定理

1. 函数连续性与均值定理、泰勒展开

1.1 函数连续性

函数 (f : C(K) \to R) 在 (\varphi = \varphi_a \in C(K)) 处连续的定义为：对于任意的 (\epsilon > 0)，存在 (\delta = \delta(\epsilon, \varphi_a))，使得当 (dist(\varphi, \varphi_a) < \delta) 时，有 (|f(\varphi) - f(\varphi_a)| < \epsilon)。

1.2 均值定理

对于可微函数 (f : R \to R)，若 (a < b)，则存在 (c) 满足 (a < c < b)，使得 (\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f’(c))。例如，对于 (f(x) = x^2 - 3x + 2)，(a = 2)，(b = 4)，有 (\frac{(b^2 - 3b + 2) - (a^2 - 3a + 2)}{b - a} = a + b - 3 = 3)，(f’(c) = 2c - 3)，解得 (c = 3) 满足条件。

1.3 泰勒展开

均值定理可扩展为泰勒定理。若 (f) 直到 ((n - 1)) 阶导数连续且 (n) 次可微，则 (f(b) = f(a) + \frac{f’(a)}{1!}(b - a) + \frac{f’‘(a)}{2!}(b - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!}(b - a)^{n - 1} + R_n)，其中 (R_n = \fra