11、数学基础：从对数到离散数学的全面讲解

数学基础：从对数到离散数学的全面讲解

1. 乘法运算与对数

1.1 乘法符号 ∏

在数学中，除了使用大写 Sigma 符号进行求和运算，还可以使用圆周率符号 ∏ 进行类似的乘法运算。这个符号的工作方式与大写 Sigma 符号完全相同，只不过不是将数列相加得到总和，而是将数列相乘得到乘积。

1.2 对数的基本概念

对数在非对称密码学中起着非常重要的作用。有一类非对称算法是基于所谓的离散对数问题。大多数人在中学时就接触过对数。一个数的对数就是某个固定值（称为底数）必须提升的指数，以得到该数。

例如，以 10 为底，10000 的对数是多少呢？也就是 10 要提升到多少次方才能得到 10000，答案是 4，因为 (10^4 = 10000)。这里使用的底数 10 是常用对数的底数，大多数人对以 10 为底的对数比较熟悉。

不过，对数可以使用任意底数。比如，求以 2 为底 16 的对数，可写成 (\log_2(16))，即 2 要提升到多少次方才能得到 16，答案是 4，因为 (2^4 = 16)。

1.3 自然对数

自然对数用 ln 表示，在数学和科学中应用非常广泛。自然对数以无理数 e（约为 2.718）为底数。某个数 x 的自然对数通常写成 (\ln x)，也可写成 (\log_e x)。与任何对数一样，自然对数就是 e 必须提升的次方数，以得到某个特定的数。

自然对数的基本概念是由格雷戈里·德·圣文森特（Gregoire de Saint Vincent）和阿尔方斯·德·萨拉萨（Alphonse de Sarasa）在 17 世纪早期提出的，他们当时