3、数学中的向下取整、向上取整与对数函数

数学中的向下取整、向上取整与对数函数

1. 向下取整与向上取整函数

向下取整函数 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，向上取整函数 $\lceil x\rceil$ 表示不小于 $x$ 的最小整数。它们在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

1.1 公式推导与证明

在数组相关的问题中，我们常常会用到向下取整和向上取整函数来计算数组的长度。例如，对于一个子数组 $a[first..mid - 1]$，其长度的计算如下：
已知子数组 $a[first..mid]$ 的长度为 $\lceil n/2\rceil$，那么 $a[first..mid - 1]$ 的长度为 $\lfloor n/2\rfloor - 1=\lfloor(n + 1)/2\rfloor - 1=\lfloor(n - 1)/2\rfloor$（根据定理 2.1.5 (c)）。
而子数组 $a[mid + 1..last]$ 的长度为 $n - \lfloor n/2\rfloor=\lceil n/2\rceil$（根据定理 2.1.5 (b)）。

1.2 示例计算

• 示例 2.1.7 ：
  • $\lfloor 26/7\rfloor=\lfloor 3 + 5/7\rfloor = 3$
  • $\lceil 26/7\rceil = 4$
  • $\lfloor 7/26\rfloor = 0$
  • $\lceil 7/26\rceil = 1$