58、高效加速Koblitz曲线标量乘法及多智能体系统状态约束下的共识问题研究

高效加速Koblitz曲线标量乘法及多智能体系统状态约束下的共识问题研究

1. Koblitz曲线标量乘法相关研究

在椭圆曲线密码学中，标量乘法是一个核心操作，其效率直接影响到整个密码系统的性能。对于Koblitz曲线，它是定义在 $F_2$ 上的椭圆曲线，形式为 $E_a : y^2 + xy = x^3 + ax^2 + 1$，其中 $a \in {0, 1}$。

• Koblitz曲线基础性质
  • 若 $d|m$，则 $E_a(F_{2^d})$ 是 $E_a(F_{2^m})$ 的子群，且 $#E_a(F_{2^d})|#E_a(F_{2^m})$。特别地，$#E_0(F_2) = 4$，$#E_1(F_2) = 2$，所以 $4|#E_0(F_{2^m})$，$2|#E_1(F_{2^m})$。当 $#E_a(F_{2^m}) = hn$（$n$ 为素数，$h$ 满足 $h = \begin{cases} 4, & a = 0 \ 2, & a = 1 \end{cases}$）时，$#E_a(F_{2^m})$ 近似为素数，$h$ 称为余因子。NIST推荐了五条在二进制域上的Koblitz曲线，分别对应 $m = 163, 233, 283, 409, 571$。
  • Frobenius自同态定义为 $\tau : E(F_{2^m}) \to E(F_{2^m})$，$(x, y) \mapsto (x^2, y^2)$。由于在 $F_{2^m}$ 中平方运算相对廉价，Frobenius自同态可以高效计算。并且对于任意点 $P \in E_a(F_{2^m})$，有 $(