46、机器人在农业监测与最优控制中的应用探索

机器人在农业监测与最优控制中的应用探索

1. 农业监测用步行机器人

步行机器人在农业监测领域具有巨大的应用潜力。不同类型的步行机器人具有各自独特的特点。

1.1 机器人类型对比

特征	六足昆虫型机器人	六足爬行型机器人	四足爬行型机器人	四足动物型机器人
尺寸	非常大	大	中等	中等
移动速度	平均	低	平均	高
负载能力	高	高	平均	平均
驱动扭矩	高	中等	中等	中等
驱动速度	低	平均	中等、高	中等、高
步态类型	静态稳定、动态稳定	静态稳定、动态稳定	静态稳定、动态稳定	动态稳定
稳定性	高	高	平均	平均

从表格中可以看出，这些标准并非绝对，同一类机器人的特性也会有显著差异。在选择大负载能力的设备时，六足爬行型机器人是优先选择，因为它能以中等驱动要求运输大负载且具有静态稳定性；而在选择高移动速度的设备时，四足动物型机器人更具优势，但需要使用快速驱动器和动态步态。

1.2 农业监测功能与设备要求

为了进行农业监测，步行机器人需要执行以下功能：
- 土壤湿度测量；
- 测量土壤中肥料的浓度；
- 植物的微距摄影；
- 收集植物样本；
- 存储植物样本等。

为此，机器人需要配备相应的设备，如传感器、高分辨率相机、用于收集样本的机械臂、用于存储样本的容器等。

1.3 机器人控制系统结构

步行机器人的控制系统结构复杂，主要包括建筑管理系统，它负责管理所有全局流程，应包含行动规划子系统、路线规划和附加设备管理。
为了在地形中移动，机器人需要导航系统，包括本地导航系统（范围约 10 米）和全球导航系统。本地导航系统依靠短程传感器（如立体相机、激光雷达和声纳）来检测障碍物、识别表面类型并设置运动控制系统的控制模式；全球导航系统使用 GPS 或 GLONASS 确定位置，并利用预建的地形图为机器人规划安全路径。
运动控制系统控制机器人的腿部并提供设定的移动速度，还负责确保机器人在执行服务操作时的平衡和指定位置。
显然，步行机器人的控制系统应基于模块化原则构建，所有过程应并行且实时进行。为了有效运行，控制系统必须包含多个计算设备，例如本地导航系统可以使用图形加速器处理来自摄像机的大量图形数据，其余子系统可以在通用处理器上实现。

1.4 技术要求

基于实际考虑，农业监测用步行机器人的技术要求如下：
- 自主时间：1 小时以上（理想情况下 4 小时以上）；
- 行驶速度：5 至 10 公里/小时（1.4 - 2.8 米/秒）；
- 运输货物：3 至 15 公斤；
- 电源：可充电锂离子电池。

1.5 工业类似机器人

目前，工业应用的步行机器人正在积极开发中，比较著名的有波士顿动力的 Spot 机器人、宇树科技的 B1 机器人和瑞士 ANYbotics 公司的 ANYmal C 机器人。

参数	波士顿动力 Spot	宇树科技 B1	ANYbotics ANYmal C
长 * 宽 * 高（厘米）	110 * 50 * 87	110 * 46 * 70	80 * 60 * 70
重量（公斤）	72.6	40	50
有效载荷（公斤）	14	40	10
防护等级	IP54	IP68	IP67
速度（公里/小时）	5.76	6.48	3.6
速度（米/秒）	1.6	1.8	1.0
工作时间（分钟）	90	120	90

这些机器人都采用模仿四足动物的结构，每条腿有三个自由度，这种结构能使机器人在小尺寸和中等腿部驱动扭矩（10 - 30 N*m）的情况下获得高移动速度。由于重心位置较高，需要采取特殊措施来保持机器人的平衡。这些机器人都有一套完善的传感器，允许安装由机器人电源供电的附加设备，并且采用模块化原则构建，具有高越野能力和基本功能，附加设备可实现更多操作。

2. 应用于机器人的计算最优控制方法

在机器人领域，最优控制问题是一个重要的研究方向。

2.1 最优控制问题的经典表述

最优控制问题在控制理论中非常著名，经典表述是通过一个常微分方程组描述控制对象，右侧有未知控制向量，给定初始和终端条件以及积分质量泛函，需要找到作为时间函数的控制。但这种经典方法得到的解是时间的函数，属于开环控制系统，实际应用中任何对象运动和控制的时间差异都会导致控制目标无法实现，质量标准值与数学计算结果不同。

2.2 现有求解方法及问题

目前有直接和间接两种求解最优控制问题的方法。直接方法是通过在时间网格上离散化控制和状态函数，将最优控制问题转化为非线性规划问题，但只能得到近似解；间接方法基于庞特里亚金最大值原理，将最优控制问题视为有限维空间的优化问题，但会产生一个边界值问题，且得到的解不能直接应用于控制对象。在实际中，需要构建反馈稳定系统来补偿实际轨迹与最优轨迹的差异，但引入稳定系统可能会导致失去最优性。

2.3 合成最优控制方法

合成最优控制方法是一种新的思路。它先确保控制对象在状态空间中的稳定性，然后再求解最优控制问题。其关键思想是找到一个控制函数，使微分方程组在状态空间中始终有一个稳定的平衡点，通过改变平衡点的位置来控制对象。

这种方法有诸多优点：
- 引入稳定系统实现状态控制；
- 无需解决复杂的通用控制合成问题；
- 能够对对象进行最优控制，且控制参数的最优值可以使用数值优化方法快速计算，甚至可以在机器人上重新计算；
- 所有计算方法都是自动数值方法，无需手动计算，可实现控制系统开发过程的自动化和通用化。

合成最优控制问题的求解分为两个阶段：
- 第一阶段：解决稳定控制合成问题，为对象在某个域内提供稳定性。设数学模型为 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u})$，控制函数 $\mathbf{u} = \mathbf{h}(\mathbf{x}^ , \mathbf{x})$，使得系统有稳定的平衡点 $\tilde{\mathbf{x}}(\mathbf{x}^ )$。
- 第二阶段：求解最优控制问题，找到作为时间函数的控制函数 $\mathbf{x}^ = \mathbf{v}^ (t)$，使系统在满足初始和终端条件的情况下，质量泛函达到最优。

通过这种方法，有望在机器人控制中更好地实现最优控制，提高机器人的性能和应用效果。

机器人在农业监测与最优控制中的应用探索

2. 应用于机器人的计算最优控制方法（续）

2.4 合成最优控制问题的具体表述

下面详细介绍合成最优控制问题的具体表述。

设控制对象的数学模型由如下常微分方程组给出：
$\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u})$
其中，$\mathbf{x}$ 是状态空间向量，$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，$\mathbf{u}$ 是控制向量。

控制值存在约束：
$\mathbf{u} \in U \subseteq \mathbb{R}^m$
这里，$U$ 是一个紧凑集。

对于该系统，给定初始条件：
$\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}^0 \in \mathbb{R}^n$

同时，给定终端条件：
$\mathbf{x}(t_f) = \mathbf{x}^f \in \mathbb{R}^n$
其中，$t_f$ 是到达终端条件的时间，$t_f$ 是有限的且未预先设定：
$t_f =
\begin{cases}
t, & \text{如果 } t < t^+ \text{ 且 } |\mathbf{x}^f - \mathbf{x}(t)| \leq \epsilon \
t^+, & \text{否则}
\end{cases}$
这里，$\epsilon$ 是给定的小的正值，$t^+$ 是给定的控制限制时间。

给定以积分泛函形式表示的质量准则：
$\tilde{J} = \int_{0}^{t_f} f_0(\mathbf{x}, \mathbf{u}) dt \to \min_{\mathbf{u} \in U}$

任务是找到形如 $\mathbf{u} = \mathbf{g}(\mathbf{x}, t) \in U$ 的控制函数，使得将该控制函数代入控制对象的数学模型右侧后，所得常微分方程组的特解从给定初始条件 $\mathbf{x}^0$ 出发，能在 $t_f \leq t^+$ 的时间内到达终端条件 $\mathbf{x}(t_f) = \mathbf{x}^f$，且质量准则达到最优。同时，对于其他特解 $\mathbf{x}(t, \mathbf{x}^ )$（$\mathbf{x}^ \neq \mathbf{x}^0$），满足 $\delta$-最优性条件：若对于给定的 $\Delta > 0$ 和 $t’ < t^+$，有 $|\mathbf{x}(t’, \mathbf{x}^ ) - \mathbf{x}(t’, \mathbf{x}^0)| \leq \Delta$，则对于所有 $\epsilon > 0$，存在 $\delta t$（$0 < \delta t < +\infty$），使得 $|\mathbf{x}(t’ + \delta t, \mathbf{x}^ ) - \mathbf{x}(t’ + \delta t, \mathbf{x}^0)| \leq \epsilon$。

这个 $\delta$-最优性的附加条件意味着，最优控制问题求解得到的最优轨迹必须具有吸引附近所有部分解的特殊性质，从而使控制对某些扰动不敏感。

2.5 合成最优控制问题的求解流程

算法上，合成最优控制问题的求解和控制函数的寻找分为两个连续的任务，其流程如下：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px

    A([开始]):::startend --> B(第一阶段：稳定控制合成):::process
    B --> C(为对象在域 $X_0$ 内提供稳定性):::process
    C --> D(找到控制函数 $\mathbf{u} = \mathbf{h}(\mathbf{x}^*, \mathbf{x})$):::process
    D --> E(使系统有稳定平衡点 $\tilde{\mathbf{x}}(\mathbf{x}^*)$):::process
    E --> F(第二阶段：最优控制求解):::process
    F --> G(求解最优控制问题):::process
    G --> H(找到控制函数 $\mathbf{x}^* = \mathbf{v}^* (t)$):::process
    H --> I(使系统满足初始和终端条件且质量泛函最优):::process
    I --> J([结束]):::startend

• 第一阶段：稳定控制合成
  设控制对象的数学模型为 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u})$，其中 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，$\mathbf{u} \in \mathbb{R}^m$。控制函数 $\mathbf{u} = \mathbf{h}(\mathbf{x}^ , \mathbf{x})$ 需满足一定性质。对于所有 $\mathbf{x}^ \in X_0$，存在 $\tilde{\mathbf{x}}(\mathbf{x}^ )$ 使得 $\mathbf{f}(\tilde{\mathbf{x}}(\mathbf{x}^ ), \mathbf{h}(\mathbf{x}^ , \tilde{\mathbf{x}}(\mathbf{x}^ ))) = 0$，并且系统在该平衡点附近的特征方程 $\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E}) = (-1)^n (\lambda - \lambda_1) \cdots (\lambda - \lambda_n) = \prod_{j = 1}^{n} (\lambda - \lambda_j) = 0$ 的所有特征值 $\lambda_j = \alpha_j + i\beta_j$ 满足 $\alpha_j < 0$（$j = 1, \cdots, n$），其中 $\mathbf{A} = \frac{\partial \mathbf{f}(\tilde{\mathbf{x}}(\mathbf{x}^ ), \mathbf{h}(\mathbf{x}^ , \tilde{\mathbf{x}}(\mathbf{x}^ )))}{\partial \mathbf{x}}$，$\mathbf{E} = \text{diag}(1, \cdots, 1)$。这个函数 $\mathbf{h}(\mathbf{x}^ , \mathbf{x})$ 就是对象的稳定系统，对象相对于状态空间中的某个点 $\tilde{\mathbf{x}}(\mathbf{x}^ )$ 被稳定下来，平衡点的位置取决于参数 $\mathbf{x}^ $。
• 第二阶段：最优控制求解
  在这一阶段，求解如下最优控制问题：
  $\begin{cases}
  \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{h}(\mathbf{x}^ , \mathbf{x})) \
  \mathbf{x}^ \in X_0 \subseteq \mathbb{R}^n \
  \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}^0 \
  \mathbf{x}(t_f) = \mathbf{x}^f \
  J = \int_{0}^{t_f} f_0(\mathbf{x}, \mathbf{h}(\mathbf{x}^ , \mathbf{x})) dt \to \min_{\mathbf{x}^ \in X_0}
  \end{cases}$
  需要找到作为时间函数的控制函数 $\mathbf{x}^ = \mathbf{v}^ (t)$，使得系统在满足初始和终端条件的情况下，质量泛函 $J$ 达到最优。

3. 实例分析：麦轮移动机器人的最优控制

为了更直观地展示合成最优控制方法的优势，下面以麦轮移动机器人为例进行分析。

3.1 问题描述

麦轮移动机器人在实际应用中，需要从初始位置移动到目标位置，同时要满足一定的运动性能要求，如最短时间、最小能耗等。在经典的最优控制问题表述下，直接求解得到的开环控制方案难以应用于实际，因为机器人在运动过程中会受到各种干扰，导致实际轨迹与最优轨迹出现偏差。

3.2 合成最优控制方法应用

采用合成最优控制方法，首先为麦轮移动机器人的运动模型构建稳定系统。设机器人的状态向量 $\mathbf{x}$ 包含位置、速度等信息，控制向量 $\mathbf{u}$ 为电机的控制输入。通过设计控制函数 $\mathbf{u} = \mathbf{h}(\mathbf{x}^ , \mathbf{x})$，使得机器人在状态空间中有稳定的平衡点 $\tilde{\mathbf{x}}(\mathbf{x}^ )$。

然后，在稳定系统的基础上求解最优控制问题。根据机器人的初始位置 $\mathbf{x}^0$ 和目标位置 $\mathbf{x}^f$，找到作为时间函数的控制函数 $\mathbf{x}^ = \mathbf{v}^ (t)$，使得机器人在满足运动约束的情况下，以最优的方式到达目标位置。

3.3 优势对比

与直接求解最优控制问题的方法相比，合成最优控制方法在麦轮移动机器人上的应用具有明显优势。在面对不确定性因素（如地面摩擦变化、外界干扰等）时，合成最优控制方法能够更好地保持机器人的稳定性和最优性。而直接方法得到的开环控制方案可能会因为这些不确定性因素导致控制目标无法实现，或者运动性能大幅下降。

4. 总结与展望

机器人在农业监测和控制领域具有广阔的应用前景。在农业监测方面，步行机器人能够执行土壤湿度测量、肥料浓度检测、植物样本收集等多种任务，通过合理设计控制系统和导航系统，可以提高农业生产的精准度和效率。在机器人控制方面，合成最优控制方法为解决传统最优控制问题在实际应用中的难题提供了新的思路和方法，有望在提高机器人性能、降低能耗等方面发挥重要作用。

未来，随着技术的不断发展，机器人在农业和控制领域的应用将会更加广泛和深入。例如，步行机器人的性能将不断提升，能够适应更复杂的农业环境；合成最优控制方法也将不断完善，结合更多的先进技术（如人工智能、机器学习等），实现更加智能和高效的机器人控制。同时，机器人的成本也有望降低，使得更多的农业生产者和工业用户能够受益于机器人技术。