24、网格模型：马尔可夫随机场与图像去噪

网格模型：马尔可夫随机场与图像去噪

1. 图像去噪问题概述

图像去噪是图像处理中的重要任务，目标是从受损图像中恢复原始图像。常见的图像去噪场景包括：
- 二值图像去噪 ：原始二值图像的部分像素极性被随机翻转，我们要恢复其原始状态。
- 灰度图像去噪 ：部分像素值被替换为均匀分布的随机值，需恢复原始灰度图像。

2. 马尔可夫随机场（MRF）基础

马尔可夫随机场由以下部分正式定义：
- 站点集合 ：$S = {1…N}$，对应图像中的 $N$ 个像素位置。
- 随机变量集合 ：${w_n} {n = 1}^{N}$，与每个站点相关联。
- 邻居集合 ：${N_n} {n = 1}^{N}$，每个站点都有其邻居。

马尔可夫随机场需遵循马尔可夫性质：
$Pr(w_n|w_{S\setminus n}) = Pr(w_n|w_{N_n})$
即给定邻居的情况下，该变量与其他所有变量条件独立。这与无向图模型中的条件独立性类似。

马尔可夫随机场可表示为无向模型，其联合概率可表示为势函数的乘积：
$Pr(w) = \frac{1}{Z} \prod_{j = 1}^{J} \varphi_j[w_{C_j}]$
其中，$\varphi_j[•]$ 是第 $j$ 个势函数，始终返回非负值，$C_j$ 是变量子集，称为团，$Z$ 是配分函数，用于确保结果是有效