25、带区间图兼容性的容量最大批处理问题研究

带区间图兼容性的容量最大批处理问题研究

1. 预备知识

为了将集合 $J$ 中的区间与其他区间区分开来，我们将这些区间称为到期区间。设到期区间的数量为 $n$，并假设所有到期区间的端点都在集合 ${1, \ldots, T}$ 中，其中 $T := 2n$。受将到期区间解释为时间约束的启发，我们将集合 ${1, \ldots, T}$ 中的元素称为周期。不失一般性，假设所有到期区间的端点都是不同的（因为 $T = 2n$，这是可以实现的）。此外，不失一般性，假设 $n$ 和 $T$ 都是 2 的幂，并且所有到期区间至少包含两个周期。最后，设 $OPT := cost(\sigma^ )$ 表示所有到期区间的最优调度 $\sigma^ $ 的成本。

考虑一个调度 $\sigma$。对于 $\sigma$ 中的每个批次 $C$，存在一个周期 $t_C$，使得对于 $C$ 中的每个到期区间 $I$，都有 $t_C \in I$。如果 $t_C$ 不唯一，我们简单地选择 $t_C$ 为满足条件的最小周期。因此，我们也可以将调度 $\sigma$ 看作是一个函数 $\sigma : J \to {1, \ldots, T}$，它将每个到期区间 $I$ 分配到周期 $\sigma(I) = t_C$，其中 $C \in \sigma$ 是包含 $I$ 的批次。

设 $J_1, J_2, \ldots, J_m$（$m \leq n$）是到期区间的一个划分，使得：
1. 对于每个 $J_i$ 中的到期区间对 $I, I’$，有 $w_I = w_{I’}$；
2. 对于 $i < i’$，当 $I \in J_i$ 且 $I’ \in J_{i’