24、线性方程组与区间图兼容的容量最大批处理问题

线性方程组与区间图兼容的容量最大批处理问题

在算法与图论领域，线性方程组和图的分区问题一直是研究的重点。本文将深入探讨线性方程组的参数化复杂度以及区间图的容量最大批处理问题，揭示其中的关键特性和算法解决方案。

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线性方程组与傅里叶展开的关联

对于在 (F_{2}^{n}) 上的加权线性方程组 (Az = b) 和函数 (f:{-1, +1}^n \to \mathbb{R}) 的傅里叶展开之间存在着有用的关联。函数 (f(x)) 的傅里叶展开可重写为：
[f(x) = c_{\varnothing} + \sum_{S \in F} c_S \prod_{i \in S} x_i]
其中 (F = {\varnothing \neq S \subseteq [n] : c_S \neq 0})。可以将多项式 (\sum_{S \in F} c_S \prod_{i \in S} x_i) 与 (F_{2}^{n}) 上的加权线性方程组 (Az = b) 相关联，对于每个 (S \in F)，有方程 (\sum_{i \in S} z_i = b_S)，其权重为 (|c_S|)，当 (c_S) 为正时 (b_S = 0)，否则 (b_S = 1)。反之，给定 (F_{2}^{n}) 上的线性方程组 (Az = b)，每个方程 (\sum_{i \in S} z_i = b_S) 被赋予正权重 (w_S) 且没有两个方程的左边相同，该系统可与多项式 (\sum_{S \in F} c_S \prod_{i \in S} x_i) 相关联，当 (b_S = 0) 时 (c_S = w_S)，否则 (c_S = -w_S)。这种关联在 (c_{\