26、具有区间图兼容性的容量最大批处理与单位圆盘图最小团划分的近似算法

具有区间图兼容性的容量最大批处理与单位圆盘图最小团划分的近似算法

在许多实际应用和理论研究中，调度问题和图划分问题一直是热门的研究领域。本文将介绍两个相关的研究内容，一是具有区间图兼容性的容量最大批处理问题的近似算法，二是单位圆盘图最小团划分问题的近似算法。

具有区间图兼容性的容量最大批处理问题

在具有区间图兼容性的容量最大批处理问题中，我们主要关注动态规划算法在不同实例下的扩展。
- 动态规划基础 ：通过类似Correa等人的自顶向下分解方法，可以完成动态规划的定义。在递推关系中，我们独立处理每个节点，为每个节点设置单独的约束条件。当节点u为根节点，整数元组x全为0时，Π(u, x, a, A)包含满足约束条件A的最优调度σ的成本。
- QPTAS（拟多项式时间近似方案）
- 定义扩展 ：为了将适用于简单实例的动态规划扩展到一般实例，我们引入了一些新的定义。用K表示一个由到期区间集组成的元组，对于每个顶点v和节点i，有$K^i_v \subseteq P(R^i_v)$。对于元组A，如果对于每个顶点v和节点i，都有$A^i_v \in K^i_v$，则记为$A \in K$。
- 关键引理 ：引理4表明，对于任意$\epsilon > 0$，我们可以在多项式时间内计算出一个满足$|K| \leq c$（c为常数）的元组K，使得存在一个元组$A \in K$和一个调度σ，满足σ的成本$cost(\sigma) \leq (1 + \epsilon)OPT$。这意味着通过损失一个$(1 + \epsilon